Test di ipotesi
un saluto a tutti gli iscritti,
il mio quesito è il seguente (inizio con una introduzione) ed è seguito da una considerazione:
molti libri di statistica riportano la matrice con colonne e righe alle quali corrispondo gli elementi (interni alla matrice) per la combinazione righe/colonne , per la combinazione righe/colonne , e per le due combinazioni riga/colonna e < Ho vera/non rifiuto Ho>.
l'errore di tipo I è il livello alfa e l'errore di tipo II è il livello beta, e rispettivamente la probabilità di correttezza è il complemento a uno dei livelli alfa e beta: 1-alfa e 1-beta
per cui, la somma di alfa con il suo complemento è - ovviamente - 1 e la somma di beta con il suo complemento è - ovviamente - 1
ora il quesito
se la frase precedente è generalizzabile con "la somma degli elementi di riga è 1" per tutte le righe della matrice, nel caso della matrice a cui mi riferisco, è vero anche che la somma degli elementi di colonna è 1?
se sì, allora l'errore di tipo I è uguale a 1-(1-beta) e l'errore di tipo II è uguale a 1-(1-alfa)
e quindi, se alfa = 1-alfa e 1-alfa = 1-beta, allora alfa = 1- (1-beta), cioè alfa = beta
ergo, fissato un livello alfa a 0.05, il livello beta è 0.05
può sembrare banale, ma in diversi libri non è presente questa considerazione;
grazie
un saluto da metrixo
il mio quesito è il seguente (inizio con una introduzione) ed è seguito da una considerazione:
molti libri di statistica riportano la matrice con colonne
l'errore di tipo I è il livello alfa e l'errore di tipo II è il livello beta, e rispettivamente la probabilità di correttezza è il complemento a uno dei livelli alfa e beta: 1-alfa e 1-beta
per cui, la somma di alfa con il suo complemento è - ovviamente - 1 e la somma di beta con il suo complemento è - ovviamente - 1
ora il quesito
se la frase precedente è generalizzabile con "la somma degli elementi di riga è 1" per tutte le righe della matrice, nel caso della matrice a cui mi riferisco, è vero anche che la somma degli elementi di colonna è 1?
se sì, allora l'errore di tipo I è uguale a 1-(1-beta) e l'errore di tipo II è uguale a 1-(1-alfa)
e quindi, se alfa = 1-alfa e 1-alfa = 1-beta, allora alfa = 1- (1-beta), cioè alfa = beta
ergo, fissato un livello alfa a 0.05, il livello beta è 0.05
può sembrare banale, ma in diversi libri non è presente questa considerazione;
grazie
un saluto da metrixo
Risposte
mi sono accorto di un errore di battitura,
ine quindi, se alfa = 1-alfa e 1-alfa = 1-beta, allora alfa = 1- (1-beta), cioè alfa = beta
è errato la formula alfa = 1 - alfa;
la frase corretta è alfa = 1 - (1-alfa) = alfa
ma, riprendo il ragionamento, poiché - se la sommatoria di colonna è 1 - allora 1-(1-beta)=alfa
quindi, 1-(1-beta)=alfa=1-(1-alfa)
dunque: beta=alfa (PRIMA PROPOSIZIONE)
inoltre ne aggiungo una seconda, che si deduce dalla prima:
1-alfa = 1-beta (SECONDA PROPOSIZIONE)
poiché se 1=alfa+1-alfa=beta+1-beta, e beta=alfa, allora 1-alfa=1-beta
in
è errato la formula alfa = 1 - alfa;
la frase corretta è alfa = 1 - (1-alfa) = alfa
ma, riprendo il ragionamento, poiché - se la sommatoria di colonna è 1 - allora 1-(1-beta)=alfa
quindi, 1-(1-beta)=alfa=1-(1-alfa)
dunque: beta=alfa (PRIMA PROPOSIZIONE)
inoltre ne aggiungo una seconda, che si deduce dalla prima:
1-alfa = 1-beta (SECONDA PROPOSIZIONE)
poiché se 1=alfa+1-alfa=beta+1-beta, e beta=alfa, allora 1-alfa=1-beta
in soldoni, se il ragionamento è corretto
in un test di ipotesi,
l'errore di tipo I è uguale all'errore di tipo II e il livello di confidenza è uguale alla potenza del test
però un testo riporta la frase "quanto più piccolo è l'errore di tipo I, tanto maggiore sarà l'errore di tipo II"
e questo è contraddittorio con quanto ho scritto;
in un test di ipotesi,
l'errore di tipo I è uguale all'errore di tipo II e il livello di confidenza è uguale alla potenza del test
però un testo riporta la frase "quanto più piccolo è l'errore di tipo I, tanto maggiore sarà l'errore di tipo II"
e questo è contraddittorio con quanto ho scritto;
grazie Sergio per la risposta
fissato una ipotesi nulla ho e una ipotesi alternativa, decido - come nell'esempio che riportato - un valore critico per il livello alfa e beta compreso tra i valori delle ipotesi nulla e alternativa;
allora è falso che la somma degli elementi di colonna è 1 come per quelli riga?
in quanto, presa la tabella 2x2 sul test di ipotesi con riportati le combinazioni i) confidenza 1-alfa ii) alfa errore ti tipo I iii) beta errore di tipo II iv) potenza 1-beta (che non riporto perché presente in molti libri), se si sommano le righe, cioè alfa + 1-alfa e beta + 1-beta è ovviamente 1; ma se valesse anche per le colonne, varrebbero le equazioni beta + (1-alfa) = 1 e alfa + (1-beta) = 1, e dunque, risolvendo algebricamente la prima equazione per beta diventa beta = 1 - (1-alfa) = 1 -1 + alfa = alfa e cioè beta = alfa.
ora mi accorgo che è contraddittorio, allora mi domando sulla verità della frase sopra, ossia: la somma degli elementi di colonna della matrice del test di ipotesi non è 1, mentre è 1 la somma degli elementi di riga
grazie in anticipo
fissato una ipotesi nulla ho e una ipotesi alternativa, decido - come nell'esempio che riportato - un valore critico per il livello alfa e beta compreso tra i valori delle ipotesi nulla e alternativa;
allora è falso che la somma degli elementi di colonna è 1 come per quelli riga?
in quanto, presa la tabella 2x2 sul test di ipotesi con riportati le combinazioni i) confidenza 1-alfa ii) alfa errore ti tipo I iii) beta errore di tipo II iv) potenza 1-beta (che non riporto perché presente in molti libri), se si sommano le righe, cioè alfa + 1-alfa e beta + 1-beta è ovviamente 1; ma se valesse anche per le colonne, varrebbero le equazioni beta + (1-alfa) = 1 e alfa + (1-beta) = 1, e dunque, risolvendo algebricamente la prima equazione per beta diventa beta = 1 - (1-alfa) = 1 -1 + alfa = alfa e cioè beta = alfa.
ora mi accorgo che è contraddittorio, allora mi domando sulla verità della frase sopra, ossia: la somma degli elementi di colonna della matrice del test di ipotesi non è 1, mentre è 1 la somma degli elementi di riga
grazie in anticipo
grazie Sergio 
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