Teorema Limite Centrale Lindeberg-Feller e Lyapunov

[ll_96]

Salve, nel programma dell'esame, sono inseriti solo due teoremi relativi al teorema del limite centrale, ma ho problemi a capire cosa dicono in termini pratici. I teoremi sono i seguenti:


**Teorema di Lindeberg-Feller

"Sia $X_n, n>=1 $ una successione di v.a. indipendenti con $ Var X_n=sigma_n^2
Se $ Var S_n=B_n^2 $ e $F_n$ è la funzione di ripartizione di $X_n$, allora

[7.2] $ lim_(n->+oo) max_(1<=k<=n)sigma_k^2/B_n^2=0 $ (che significa?)

[7.3] $ lim_(n->oo)P{(S_n-mathbb(E)S_n)/B_n<=x }=1/sqrt(2pi)int_(-oo)^(x) e^(-w^2/2)dw $


(significa che la distribuzione della probabilità della successione tende a una v.a. normale standard?)

$ AA x in mathbb(R), $ se e solo se $ AA epsilon>0 $ :
$ lim_(n->+oo)1/B_n^2sum_(k=1)^nint_({|x-alpha_k|>=epsilonB_n)}(x-alpha_k)^2dF_k(x) $"

Quest'ultima condizione cosa impone?

**Teorema di Lyapunov, riportato perché "storicamente importante", ma su internet non lo trovo, ne capisco il contributo dato. Ecco l'enunciato:

"Se $X_n, n>=1$ è una successione di v.a. indipendenti, con $mathbb(E)X_n=alpha_n$ e $VarS_n=B_n^2$ e tali che per $delta>0$, sia

$ lim_(n->oo)(sum_(k=1)^n mathbb(E)|X_k-alpha_k |^(2+delta))/B_n^(2+delta)=0 $


allora vale la [7.3]"