Sviluppo di Taylor per funzione g.d.m e caratteristica

[carezzina]

Data la funzione generatrice dei momenti $G(t)$, se tutti i momenti esistono e sono finiti allora tale funzione è sviluppabile in serie di Taylor, ovvero di Mac Laurin, cioè:
$G(t)=1+tE(X)+(t^2)/2E(X^2)+...(t^n)/(n!)E(X^n)+...$
Non riesco a capire dove tale funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin (intorno dell'origine?) e soprattutto perchè? I moduli delle derivate in 0 (ossia i momenti) sono equilimitati?

Ancora:
Data la funzione caratteristica, se tutti i momenti esistono e sono finiti allora tale funzione è sviluppabile in serie di Taylor, ovvero di Mac Laurin, cioè:
$psi(u)=1+iuE(X)-(u^2)/2E(X^2)+...((iu)^n)/(n!)E(X^n)+...$
Non riesco a capire pure qui dove tale funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin (intorno dello 0?) e soprattutto perchè? In questo caso, trattasi di serie complessa, perchè se la funzione è analitica, allora è sviluppabile in serie?
Qualcuno potrebbe fornirmi una dimostrazione di entrambe o perlomeno un'idea?

[frapippo1]

Data una funzione $psi(u)$ infinitamente derivabile, l'espansione di Taylor dice che fissato un valore $u_0$, allora in un suo intorno risulta che:
$psi(u)=psi(u_0)+(u-u_0)psi'(u_0)+(u-u_0)^2/2psi''(u_0)+..+(u-u_0)^n/{n!}psi^{(n)}(u_0)+...$

Consideriamo la funzione caratteristica (il caso della funzione generatrice dei momenti è ancora più semplice) di una variabile casuale $X$. Per le proprietà della funzione caratteristica, hai che $psi(0)=1$; inoltre se $X$ ammette momenti di qualsiasi ordine, $psi^{(n)}(u)=i^nE[e^{iuX}X^n]$, $uinRR$, per ogni $n=1,2,..$, da cui $E[X^n]={psi^{(n)}(0)}/{i^n}$.

Ora applica l'espansione di Taylor in un intorno di $u_0=0$ (o espansione di Mac Laurin) alla funzione caratteristica..(ricorda che $i^2=-1$)

[carezzina]

Non ho problemi a scrivere la serie di Taylor per una funzione (centrata in 0)...
Ciò che non capisco è perchè in un intorno dell'origine io posso sviluppare la funzione caratteristica (o generatrice dei momenti) in serie di Taylor, ossia eguagliare la funzione alla serie di Taylor...
Anche perchè frapippo non so se lo sai, ma almeno nel caso reale, se la funzione è infinitamente derivabile e la serie di Taylor converge in un intorno dell'origine, questo non significa automaticamente che converga al valore della funzione...

[DajeForte]

Eh carezzina calma, frapippo sta cercando di aiutarti.

Sollevo qualche problemino. Innanzitutto non e' detto che se esistano finiti tutti i momenti sia definita la funzione generatrice dei momenti (e questo, diversamente da come dice frapippo, diversifica di molto la fgm dalla fc). L'idea e' quella di espandere l'esponenziale con la sua serie di McLaurin e poi mediante convergenza dominata applicare il valore atteso ai termini della serie.

[frapippo1]

Grazie per la difesa DajeForte!

A parte gli scherzi, quando ho scritto che per la f.g.d.m. il ragionamento era ancora più semplice, mi riferivo al fatto che quando la f.g.d.m esiste (a differenza della f.c., che esiste sempre) i calcoli erano più facili.

"carezzina":Non ho problemi a scrivere la serie di Taylor per una funzione (centrata in 0)...
Ciò che non capisco è perchè in un intorno dell'origine io posso sviluppare la funzione caratteristica (o generatrice dei momenti) in serie di Taylor, ossia eguagliare la funzione alla serie di Taylor...

Prendi un intorno dell'origine per questo motivo:

"frapippo": $E[X^n]={psi^{(n)}(0)}/{i^n}$.

"carezzina":
Anche perchè frapippo non so se lo sai, ma almeno nel caso reale, se la funzione è infinitamente derivabile e la serie di Taylor converge in un intorno dell'origine, questo non significa automaticamente che converga al valore della funzione...

Infatti, perchè lo sviluppo di Taylor è un risultato "locale". Sinceramente non conoscevo il teorema che tu hai scritto: il risultato è vero per ogni $uinRR$?

[carezzina]

Non volevo offenderti Frapippo! Ti voglio anzi ringraziare per aver tentato di rispondermi! Chiaramente quando parlavo di funzione generatrice dei momenti mi riferivo al caso in cui esistesse...

Ti faccio un esempio Frapippo (molto famoso):
Sia $f(x)$ la funzione così definita:

$f(x)={(e^(-1/x^2),x!=0),(0,x=0):}$

Se $x!=0$ basta derivare la funzione $e^(-1/x^2)$, mentre se $x=0$ si ricorrerà al limite del rapporto incrementale: la funzione è infinitamente derivabile e le derivate in $x=0$ sono nulle tutte; la serie di Mac Laurin assume la seguente forma:

$0+0x+0x^2+...=0+0+0+......$

è dunque convergente in tutto $R$, ma la serie non converge a f(x)!!!

Ora ammesso che la funzione generatrice dei momenti esista e che esistano finiti tutti i momenti e che la serie di Taylor sia convergente in un intorno dello 0, come si fa a dimostrare che detta serie coincide con G(t)??
E per la funzione caratteristica come si fa a dimostrarlo pure (serie complessa)?

[DajeForte]

Vuoi qualche hinterland e provarci da sola o vorresti la dimostrazione intera?

[carezzina]

"DajeForte":Vuoi qualche hinterland e provarci da sola o vorresti la dimostrazione intera?

Non penso di poterci arrivare da sola...non ho le necessarie conoscenze...non so Dajeforte, vedi tu...

[DajeForte]

Allora quello che fa al caso tuo dovrebbe essere questo:

Sia $X$una v.a. reale. Se esiste un $t_0>0$ tale che $G(t)$ esiste finito $forall t " tale che " |t| $G(t)=sum_{n=0}^{infty}t^n (E[X^n])/(n!)$ dove $G^{(n)}(0)=E[X^n]$.


Per dimostrarlo inizia ad osservare che $e^|z|<=e^{z}+e^{-z}$ per ogni z reale.
Adesso poni z uguale a tX con |t|
Prova così poi fammi sapere.

[carezzina]

Grazie 1000 Dajeforte...ma non sono una grande cima...cmq non fa nulla!

[DajeForte]

"DajeForte":Per dimostrarlo inizia ad osservare che $e^|z|<=e^{z}+e^{-z}$ per ogni z reale.
Adesso poni z uguale a tX con |t|

Partiamo da questo. Dunque prendendo t tale che $|t|
$e^{|t X|} <= e^{ t X}+ e^{ - t X}$

Prendendo i valori attesi a destra e sinistra ottieni

$E[e^{|t X|} ]<= E[e^{ t X}]+ E[e^{ - t X}]= G(t)+G(-t)<+infty$.

Dunque $|t|^k (|X|^k)/(k!) <= sum_{k=0}^{infty}|t|^k (|X|^k)/(k!) = e^{|t X|}$
e quindi i momenti esistono finiti.

[DajeForte]

Concludo:

adesso $G(t)=E[e^{tX}]=E[sum_{k=0}^{infty}t^k (X^k)/(k!)]=sum_{k=0}^{infty} t^k (E[X^k])/(k!)$

dove nella seconda uguaglianza si è usata la convergenza dominata in quanto:

$|sum_{k=0}^n t^k (X^k)/(k!) |<= sum_{k=0}^n |t|^k (|X|^k)/(k!) <= e^{|tX|}$ che è integrabile per quanto detto prima.

La parte finale segue dal fatto che $G$ è una serie di potenze.

[carezzina]

Grazie Dajeforte, troppo gentile..