Successione di vettori aleatori convergente
Stavo riguardando un esercizio risolto tempo fa, e oggi la soluzione non mi convince 
Si vuole provare che $X_n\to X$ in probabilità $\Leftrightarrow$ $(X_n,X)\to (X,X)$ in distribuzione.
Cominciamo a provare $Rightarrow$.
In pratica avrei dimostrato che la successione di variabili doppie $(X_n,X)$ converge in probabilità (e quindi in distribuzione?) a $(X,X)$:
$\forall\ \epsilon>0\ $ $\ P(||(X_n,X)-(X,X)||>\epsilon)=P(\sqrt{(X_n-X)^2}>\epsilon)=P(|X_n-X|>\epsilon)\to 0$.
Ma non so se posso davvero fare questi passaggi...
Si vuole provare che $X_n\to X$ in probabilità $\Leftrightarrow$ $(X_n,X)\to (X,X)$ in distribuzione.
Cominciamo a provare $Rightarrow$.
In pratica avrei dimostrato che la successione di variabili doppie $(X_n,X)$ converge in probabilità (e quindi in distribuzione?) a $(X,X)$:
$\forall\ \epsilon>0\ $ $\ P(||(X_n,X)-(X,X)||>\epsilon)=P(\sqrt{(X_n-X)^2}>\epsilon)=P(|X_n-X|>\epsilon)\to 0$.
Ma non so se posso davvero fare questi passaggi...
Risposte
cosa è che non ti convince? Il fatto che sulla seconda cordinata potresti mettere qualsiasi variabile aleatoria? così a prima vista non mi turba troppo...
se non ti convince prova a vedere le funzioni caratteristiche
$Ee^{i<(\lambda_1,\lambda_2), (X_n,X)>}$...
se non ti convince prova a vedere le funzioni caratteristiche
$Ee^{i<(\lambda_1,\lambda_2), (X_n,X)>}$...
Sì, grazie fu^2, con le funzioni caratteristiche si vede subito... In realtà mi rendo conto che i miei passaggi sono giusti, ma ho fatto poca pratica con i vettori aleatori e soprattutto non ho dimostrato le proprietà sulle varie forme di convergenza per i vettori (salvo pochi casi), e la cosa mi mette a disagio 
Sulla questione della seconda coordinata, avrei questa proposizione:
Se $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ in distribuzione, allora $X_n\to X$ in distribuzione e $Y_n\to Y$ in distribuzione.
Anche qui ho fatto la dimostrazione, ma poco convinto
Prendo una qualsiasi funzione $g:RR\to RR$ limitata e continua e la funzione $f(x,y)=g(x)$, (che è anch'essa limitata e continua) e applico a questa $f$ la condizione di convergenza in distribuzione della successione $(X_n,Y_n)$:
$E[g(X_n)]=E[f(X_n,Y_n)]\to E[f(X,Y)]=E[g(X)]$, cioè $X_n\to X$ in distribuzione. Discorso identico per la $Y_n$, prendendo $f(x,y)=g(y)$.
Va bene?
Sulla questione della seconda coordinata, avrei questa proposizione:
Se $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ in distribuzione, allora $X_n\to X$ in distribuzione e $Y_n\to Y$ in distribuzione.
Anche qui ho fatto la dimostrazione, ma poco convinto
Prendo una qualsiasi funzione $g:RR\to RR$ limitata e continua e la funzione $f(x,y)=g(x)$, (che è anch'essa limitata e continua) e applico a questa $f$ la condizione di convergenza in distribuzione della successione $(X_n,Y_n)$:
$E[g(X_n)]=E[f(X_n,Y_n)]\to E[f(X,Y)]=E[g(X)]$, cioè $X_n\to X$ in distribuzione. Discorso identico per la $Y_n$, prendendo $f(x,y)=g(y)$.
Va bene?
si la dimostrazione mi torna...
osserva che questa è la questione delle probabilità congiunte e marginali
Cioè detta $\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(\cdot)$ la legge congiunta, allora sai che $\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(A)\to\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(A)$ per ogni $A$ nella $\sigma$-algebra prodotto. Dunque restringendoti agli insiemi $A\times \mathbb{R}$ e $\mathbb{R}\times B$ ottieni la convergenza delle marginali (osserva che $L_{X,Y}((-\infty,t],(-\infty,s])=F_{X,Y}(t,s)$, la funzione di ripartizione, ti torna?
osserva che questa è la questione delle probabilità congiunte e marginali
Cioè detta $\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(\cdot)$ la legge congiunta, allora sai che $\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(A)\to\mathcal{L}_{X_n,Y_n}(A)$ per ogni $A$ nella $\sigma$-algebra prodotto. Dunque restringendoti agli insiemi $A\times \mathbb{R}$ e $\mathbb{R}\times B$ ottieni la convergenza delle marginali (osserva che $L_{X,Y}((-\infty,t],(-\infty,s])=F_{X,Y}(t,s)$, la funzione di ripartizione, ti torna?
@fu: la continuita' delle misure vale solo negli insiemi per cui la frontiera ha misura nulla (secondo la misura limite).
@retro: ma hai dimostrato la altra implicazione? Su usi l'impostazione di fu mi pare abbastanza diretto.
@retro: ma hai dimostrato la altra implicazione? Su usi l'impostazione di fu mi pare abbastanza diretto.
L'altra implicazione l'ho provata utilizzando la funzione (che spero essere ) continua $g(x,y)=x-y$:
$g(X_n,X)=X_n-X\to g(X,X)=0$ in distribuzione $\Rightarrow$ $X_n-X\to 0$ in probabilità.
) continua $g(x,y)=x-y$:$g(X_n,X)=X_n-X\to g(X,X)=0$ in distribuzione $\Rightarrow$ $X_n-X\to 0$ in probabilità.
Be mi pare snella. Io avevo pensato appunto al Portmanteu's lemma per il quale se $L(F_B)=0$ allora $L_n(B) to L(B)$ dove con $F_B$ intendo la frontiera di $B$.
L'insieme $B_e = {(x,y)| \ |x-y|>e}$ ha frontiera di misura nulla secondo la legge di $(X,X)$ dunque $P((X_n,X) in B_e) rightarrow P((X,X) in B_e) = 0$
L'insieme $B_e = {(x,y)| \ |x-y|>e}$ ha frontiera di misura nulla secondo la legge di $(X,X)$ dunque $P((X_n,X) in B_e) rightarrow P((X,X) in B_e) = 0$
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