Stimatori UMVUE

[skerini]

Sia $X_1,X_2,...,X_n$ un campione casuale da una distribuzione con legge:

$f(x;theta)=2/(theta^2)e^(-x^2/theta)x^3 I_(0,\infty)(x)$

a) Determinare una statistica T sufficiente, minimale e completa:

dopo aver calcolato la funzione di verosimiglianza
$L(theta;x)=2^n/(theta^(2n))e^(-1/theta\sum(x_i^2))\prod(x_i^3)$

trovo che una statistica sufficiente T è $T=(\sum(x_i^2))$

..tralascio i due punti per dimostrare che la T sia minimale e completa!

b) Stabilire la legge di T:

$P(T
anche qui ho provato come in altri esercizi a sostituire $X=e^Y$ per vedere che succede con la nuova densità in y ma non mi sembra nulla di facilmente riconoscibile a cui poi applicare qualche regola sulla sommatoria...

Potreste aiutarmi in questo punto??

c) Costruire lo stimatore di massima verosimiglianza $hat(theta)_n$ per $theta$ e stabilire se è UMVUE:

per la prima parte nessun problema, derivo la L rispetto a $theta$ poi impongo che sia uguale a zero e trovo
$hat(theta)_n=(\sum(x_i^2))/(2n)$

per verificare che sia o meno UMVUE devo controllare che non sia distorto giusto? Ma come calcolo il valore atteso di quella robaccia lì??? Ho provato a calcolare $E[x]$ e $Var[x]$ svolgendo gli integrali per parti ma sono parecchi passaggi e il rischio di errore è elevato... esistono altre strade??

P.S.: se non ho sbagliato calcoli $E[x]=3/8\sqrt(\pi\theta)$

d) Stabilire se $hat(theta)_n$ raggiunge il limite di Cramer Rao:

è corretto calcolare $I(theta)=-E[d^2/((d\theta)^2)ln(f(x;theta))]$ ???

ovvero $-E[2n/theta^2-1/theta^3\sum(x_i^2)]$

e poi controllare se è il reciproco della varianza?

P.S.: se fino a qui è corretto la parte che mi manca è solo $Var[x]$ pertanto se viene risolta nel punto sopra allora poi automaticamente è risolto anche questo..

e) costruire lo stimatore $hat(theta*)_n$ di massima verosimiglianza per $1/theta$

sfruttando la proprietà di invarianza è sufficiente fare il reciproco dello stimatore trovato sopra

[Lo_zio_Tom]

Esercizio articolato ma di calcoli molto molto semplici (non servono integrali o roba del genere...basta una bella dose di teoria):

a) lo stimatore trovato $T=sum_i X_i^2$ oltre ad essere sufficiente, per le proprietà della famiglia esponenziale, è anche minimale e completo.

b) trovare la legge di $T$ è facile; se calcoli la legge di $X^2$ vedi che è una Gamma: $Gamma(2;1/theta)$... e quindi sai anche la legge di $T$, una $Gamma(2n,1/theta)$ di media $E[T]=2ntheta$ e varianza $V[T]=2ntheta^2$

Ora che hai la legge di $T$ è immediato calcolare la media di $hat(theta)=1/(2n)2ntheta=theta$

c) Quindi $hat(theta)$ è non distorto e funzione di uno stimatore sufficiente e completo. Allora per il lemma di Lehmann Scheffé è anche UMVUE.


d) Non ti resta che calcolarne la varianza ( $V[hat(theta) ]=theta^2/(2n)$) e verificare che tale valore coincide con il Lower Bound di Cramér Rao.
Inoltre esiste anche una CNES che ti consente di controllare che la disuguaglianza di CR valga con il segno di = senza dover calcolare esplicitamente la varianza dello stimatore ed il limite inferiore.

Infatti è CNES la seguente:

$sum_i partial/(partial theta) log f(x_i, theta)=k(theta.n)[T-theta]$

Fine

PS: Ricontrolla i tuoi conti perché ti sei perso un "2" nel denominatore della CR

Sulla ricerca di UMVUE, decisamente più difficile ma molto istruttivo, puoi guardare anche questo, che ho contrassegnato con ***interessante*** nel titolo

Ora una domanda aggiuntiva:

f) trovare l'UMVUE di $1/theta$ e verificare che NON raggiunge il Lower Bound di Cramér Rao

Stavolta con qualche calcolo in più trovi che l'UMVUE di $1/theta$ è

$T^*=(2n-1)/(sum_iX_i^2)$ di varianza $V(T^*)=1/((2n-2)theta^2)$

Tale stimatore, pur essendo UMVUE, non raggiunge il limite inferiore di Cramér Rao che, per stimatori non distorti di $1/theta$, vale

$V[T]>=1/(2ntheta^2)$

[skerini]

Tutto chiarissimo tranne questo punto! Perchè calcolando la legge di $X^2$ non mi viene la Gamma?? :,(

"tommik":
b) trovare la legge di $T$ è facile; se calcoli la legge di $X^2$ vedi che è una Gamma: $Gamma(2;1/theta)$... e quindi sai anche la legge di $T$, una $Gamma(2n,1/theta)$ di media $E[T]=2ntheta$ e varianza $V[T]=2ntheta^2$

Ora che hai la legge di $T$ è immediato calcolare la media di $hat(theta)=1/(2n)2ntheta=theta$

Io sostituisco $Y=X^2$ da cui $X=\sqrt(Y)$ da cui applicando la solita formula per passare dalla densità di X a quella di Y ottengo:
$f(y)=1/(theta^2)e^(-y/theta)y$

quindi dai miei calcoli risulta che sia $Y/2$ a seguire una $Gamma(2;1/theta)$...

sbaglio qualcosa io??

[Lo_zio_Tom]

Quella che ottieni è proprio una $Gamma(2;1/theta)$

La densità di una gamma (in una delle sue parametrizzazioni) è questa:

$f_(n;lambda)(y)=(lambda^n)/(Gamma(n))y^(n-1)e^(-ylambda)$

La legge di $Y=X^2$ viene

$f_(2;1/theta)(y)=((1/theta)^2)/(Gamma(2))y^(2-1)e^(-y*1/theta)$

$Y~Gamma(2;1/theta)$

Più chiaro ora?

[skerini]

Su questo sono d'accordo:

"tommik":
La densità di una gamma (in una delle sue parametrizzazioni) è questa:

$ f_(n;lambda)(y)=(lambda^n)/(Gamma(n))y^(n-1)e^(-ylambda) $

La legge di $ Y=X^2 $ viene

$ f_(2;1/theta)(y)=((1/theta)^2)/(Gamma(2))y^(2-1)e^(-y*1/theta) $

$ Y~Gamma(2;1/theta) $

Quello che non capisco è come mai a me venga $f(y)=(1/theta)^2ye^(-y*1/theta)$ che non è uguale alla Gamma da te trovata in quanto manca un 2 a denominatore..

[Lo_zio_Tom]

La densità che hai trovato è corretta.

$Gamma(2)=(2-1)! =1$

$f(y)=1/theta^2 y e^(-y/theta)=(1/theta)^2/(Gamma(2))y^(2-1)e^(-1/theta*y)$

[skerini]

"tommik":La densità che hai trovato è corretta.

$Gamma(2)=(2-1)! =1$

$f(y)=1/theta^2 y e^(-y/theta)=(1/theta)^2/(Gamma(2))y^(2-1)e^(-1/theta*y)$

Ma che pirl*******a è vero!!!!
L'ho rifatto tre volte e continuavo a scrivere $Gamma(2)=(2)! =2$
no comment guarda!

..scusami per averti fatto perder tempo con gli ultimi due messaggi, era tutto già chiaro dall'inizio se non fosse stato per quel maledetto 2 ahahahah