Stimatore nn distorto
qualcuno saprebbe spiegarmi lo stimatore nn distorto in parole povere????
Risposte
quindi ad esempio una stimatore nn distorto della media sarebbe la media giusto???? solo che al posto di avere il risultato tramite i dati stessi dell'eserzio abbiamo una funzione di v.a. che mi darà il risultato giusto????
capito a mezza botta... in ogni caso io conosco la MU, nn lo so prendere, di ogni singola variabile io la conosco... poi il teorema mi dice che quella stessa MU sarà il risultato del mio stimatore nn distorto della media campionaria X sovra segnata... ci siamo????
io pensavo che conoscevamo la media di ogni singola variabile e di conseguenza per teorema da te esposto conoscevamo il nostro stimatore ... ma ho capito che nn ho capito nulla 
cmq vediamo se ora ho capito... in pratica lo stimatore mi serve per stimare una media che nn conosco ma di cui ad esempio conosco la numerosità del campione e quant'altro...
spero che questa volta ci ho preso altrimenti ti do il permesso di picchiarmi
cmq vediamo se ora ho capito... in pratica lo stimatore mi serve per stimare una media che nn conosco ma di cui ad esempio conosco la numerosità del campione e quant'altro...
spero che questa volta ci ho preso altrimenti ti do il permesso di picchiarmi
Stiamo facendo INFERENZA... Dobbiamo stimare un parametro (il tuo MU) che risulta , a livello GLOBALE, di popolazione, sconosciuto. Se lo conoscessimo cosa ci serve stimarlo ? 
Ora, quello che dobbiamo fare è , in base ai dati raccolti nel campione (un campione di numerosità n), stimare questa quantità (MU). Prova a pensare, dovresti fare un censimento ogni volta se volessi conoscere esattamente il valore medio di una variabile a livello globale (e per la cronaca, purtroppo, i censimenti sono onerosi, si evitano, e danno luogo, ahime , a grossi errori che nelle stime finali vanno considerati). Quindi andiamo a studiare un campione di n elementi estratto dalla popolazione. In base a questo campione traiamo conclusioni sulla popolazione.
Vi sono diversi metodi di stima, (metodo della massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati (Gauss-Markov se vuoi approfondire la differenza tra i due metodi)) che forniscono delle stime che possono essere corrette o meno. Supponiamo che alla fine del procedimento di stima abbiamo:
$ bar(X) = sum(X_i)/n $ ... la media campionaria. Calcoliamone valore atteso:
Lo stimatore è corretto se $ E[bar(X)] = mu $ cioè se $ E( sum(X_i)/n ) = mu $.
tiriamo fuori la costante $1/n$ otterremo : $1/n E[sum(X_i)] $...
Sappiamo che il valore atteso di una somma è la somma dei valori attesi; dunque:
$1/nE[sum(X_i)] = 1/n sum[E(X_i)] $ ma il valore atteso di E(X) è $mu$ , avremo
$ 1/n nmu = E[X] $ cioè $ E[bar(X)]=mu $
Claro...?!
Ora, quello che dobbiamo fare è , in base ai dati raccolti nel campione (un campione di numerosità n), stimare questa quantità (MU). Prova a pensare, dovresti fare un censimento ogni volta se volessi conoscere esattamente il valore medio di una variabile a livello globale (e per la cronaca, purtroppo, i censimenti sono onerosi, si evitano, e danno luogo, ahime , a grossi errori che nelle stime finali vanno considerati). Quindi andiamo a studiare un campione di n elementi estratto dalla popolazione. In base a questo campione traiamo conclusioni sulla popolazione.Vi sono diversi metodi di stima, (metodo della massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati (Gauss-Markov se vuoi approfondire la differenza tra i due metodi)) che forniscono delle stime che possono essere corrette o meno. Supponiamo che alla fine del procedimento di stima abbiamo:
$ bar(X) = sum(X_i)/n $ ... la media campionaria. Calcoliamone valore atteso:
Lo stimatore è corretto se $ E[bar(X)] = mu $ cioè se $ E( sum(X_i)/n ) = mu $.
tiriamo fuori la costante $1/n$ otterremo : $1/n E[sum(X_i)] $...
Sappiamo che il valore atteso di una somma è la somma dei valori attesi; dunque:
$1/nE[sum(X_i)] = 1/n sum[E(X_i)] $ ma il valore atteso di E(X) è $mu$ , avremo
$ 1/n nmu = E[X] $ cioè $ E[bar(X)]=mu $
Claro...?!
grazie molto sei stato chiarissimo...
Non ho messo la barretta sopra la X perchè nn sapevo come si facesse Consideravo lo stimatore media campionaria, non X generico... Mi scuso .( pigrizia mia!
Ho corretto il post, prova a vedere se ti torna ora... L'ho riguardato, dovrebbe essere corretto ora
Consideravo lo stimatore media campionaria, non X generico... Mi scuso .( pigrizia mia!Ho corretto il post, prova a vedere se ti torna ora... L'ho riguardato, dovrebbe essere corretto ora
presi 30 nell'esame in questione 
Il tuo ragionamento è PERFETTO. Se vuoi affrontiamo l'argomento in privato o in post dedicato (sarebbe bello visto che lo studio della bontà degli stimatori è un argomento affascinante) più avanti una volta superato l'esame per cui ti auguro buona fortuna. Io ho solo mostrato al creatore del post la linea guida MOLTO generale per valutare correttezza dello stimatore , che come da te osservato si verifica quando E(stimatore)=stimatore. Fammi sapere come va esame Sarebbe bello anche valutare efficenza, correttezza e MSE di stimatori su varianza finita
Dalla tua correzzione precedente infatti (che è corretta) dovrei innanzitutto correggere e dire che $E(bar(X))=mu$ con mu=E(X)... e svolgere i calcoli...
Ciao
Il tuo ragionamento è PERFETTO. Se vuoi affrontiamo l'argomento in privato o in post dedicato (sarebbe bello visto che lo studio della bontà degli stimatori è un argomento affascinante) più avanti una volta superato l'esame per cui ti auguro buona fortuna. Io ho solo mostrato al creatore del post la linea guida MOLTO generale per valutare correttezza dello stimatore , che come da te osservato si verifica quando E(stimatore)=stimatore. Fammi sapere come va esame Sarebbe bello anche valutare efficenza, correttezza e MSE di stimatori su varianza finita Dalla tua correzzione precedente infatti (che è corretta) dovrei innanzitutto correggere e dire che $E(bar(X))=mu$ con mu=E(X)... e svolgere i calcoli...
Ciao
Allora... Correggo quello che ho scritto in precedenza in modo da nn causare ambiguità nei lettori:
Valutiamo la correttezza dello stimatore media campionaria $bar(X)$.
Dobbiamo valutare cioè se $E(bar(x))=mu$, quindi:
$E(1/n sum(X_i)) = mu $, dunque:
$1/n E(sum(X_i)) = mu $ , sappiamo che $ E(sum(X_i))=sum(E(X_i)) $ ma sappiamo anche che, essendo X la variabile casuale che descrive il campione, $E(X)=mu$ quindi $sum(E(X_i))=n mu$ .
Abbiamo alla fine : $ 1/n n mu $ che risulta uguale a $mu$.
Lo stimatore è corretto. Ti torna Sergio ?
Saluti
Valutiamo la correttezza dello stimatore media campionaria $bar(X)$.
Dobbiamo valutare cioè se $E(bar(x))=mu$, quindi:
$E(1/n sum(X_i)) = mu $, dunque:
$1/n E(sum(X_i)) = mu $ , sappiamo che $ E(sum(X_i))=sum(E(X_i)) $ ma sappiamo anche che, essendo X la variabile casuale che descrive il campione, $E(X)=mu$ quindi $sum(E(X_i))=n mu$ .
Abbiamo alla fine : $ 1/n n mu $ che risulta uguale a $mu$.
Lo stimatore è corretto. Ti torna Sergio ?
Saluti
"Sergio":
[quote="Kiliz"]Dobbiamo valutare cioè se $E(bar(x))=mu$
Sono stato io il primo a parlare di $mu$ in questa discussione, ma... andavo di fretta e, come dicono i matematici, "ho perso di generalità".
Uno stimatore è corretto (non distorto) se il suo valore atteso è uguale al parametro che si intende stimare.
E' vero che "valore atteso" e "media" sono quasi la stessa cosa (dico quasi perché una media è un numero che viene calcolato sommando $n$ numeri e dividendo poi per $n$, un valore atteso è l'integrale di una variabile aleatoria rispetto ad una misura di probabilità), ma il parametro che si intende stimare non è sempre una media.
Ad esempio, se $X$ è una variabile aleatoria normale, i parametri della sua distribuzione sono media e varianza e si ha che $E[X]=mu$. Se $X$ è però di altro tipo, ad esempio se è binomiale di parametri $n$ e $p$, allora $E[X]=np$; se è di Poisson di parametro $lambda$, allora $E[X]=lambda$ ecc.
Il risultato generale è quindi quello di cui ho riportato sopra la dimostrazione: $E[\bar X_n]=E[X]$.
Ciò premesso, se ci si limita alla distribuzione normale quello che dici mi torna
Potrei magari aggiungere qualcosa per dare un esempio classico di stimatore distorto. Questa volta cerco di essere un po' più attento e preciso:
a) dato un campione casuale, se la variabile aleatoria di base quale che sia ammette valore atteso $E[X]$ e varianza $V[X]$ finiti, allora si dimostra che il valore atteso della varianza campionaria $\hat sigma_n^2=1/n sum_i^n(X_i-\bar X)^2$ è uguale a $(n-1)/n V[X]$;
b) ne segue che, se la variabile aleatoria di base ha distribuzione normale di parametri $mu$ e $sigma^2$, con $V[X]=sigma^2$, dal momento che $E[\hat sigma_n^2]=(n-1)/n V[X]=(n-1)/n sigma^2$, cioè che $E[\hat sigma_n^2] != sigma^2$, la varianza campionaria è uno stimatore distorto del parametro $sigma^2$; è invece uno stimatore non distorto la varianza campionaria corretta $S_n^2=1/(n-1)sum_i^n(X_i-\bar X)^2$, infatti $E[S_n^2]=E[n/(n-1)\hat sigma_n^2]=V[X]$.[/quote]
anche qui non c'è davvero nulla da dire, praticamente ora il creatore del thread ha tutti gli elementi sulla correttezza degli stimatori di media e varianza per un campione estratto da una popolazione NORMALE di media $mu$ e varianza $sigma^2$. Io ho scelto di verificare la correttezza di $mu$ estratto con CCS da una pop normale ma avrei potuto scegliere di verificare correttezza dello stimatore "talditali" con un campione estratto da una popolazione "talditali".
Salutii
"Kiliz":
[quote="Sergio"][quote="Kiliz"]Dobbiamo valutare cioè se $E(bar(x))=mu$
Sono stato io il primo a parlare di $mu$ in questa discussione, ma... andavo di fretta e, come dicono i matematici, "ho perso di generalità".
Uno stimatore è corretto (non distorto) se il suo valore atteso è uguale al parametro che si intende stimare.
E' vero che "valore atteso" e "media" sono quasi la stessa cosa (dico quasi perché una media è un numero che viene calcolato sommando $n$ numeri e dividendo poi per $n$, un valore atteso è l'integrale di una variabile aleatoria rispetto ad una misura di probabilità), ma il parametro che si intende stimare non è sempre una media.
Ad esempio, se $X$ è una variabile aleatoria normale, i parametri della sua distribuzione sono media e varianza e si ha che $E[X]=mu$. Se $X$ è però di altro tipo, ad esempio se è binomiale di parametri $n$ e $p$, allora $E[X]=np$; se è di Poisson di parametro $lambda$, allora $E[X]=lambda$ ecc.
Il risultato generale è quindi quello di cui ho riportato sopra la dimostrazione: $E[\bar X_n]=E[X]$.
Ciò premesso, se ci si limita alla distribuzione normale quello che dici mi torna
Potrei magari aggiungere qualcosa per dare un esempio classico di stimatore distorto. Questa volta cerco di essere un po' più attento e preciso:
a) dato un campione casuale, se la variabile aleatoria di base quale che sia ammette valore atteso $E[X]$ e varianza $V[X]$ finiti, allora si dimostra che il valore atteso della varianza campionaria $\hat sigma_n^2=1/n sum_i^n(X_i-\bar X)^2$ è uguale a $(n-1)/n V[X]$;
b) ne segue che, se la variabile aleatoria di base ha distribuzione normale di parametri $mu$ e $sigma^2$, con $V[X]=sigma^2$, dal momento che $E[\hat sigma_n^2]=(n-1)/n V[X]=(n-1)/n sigma^2$, cioè che $E[\hat sigma_n^2] != sigma^2$, la varianza campionaria è uno stimatore distorto del parametro $sigma^2$; è invece uno stimatore non distorto la varianza campionaria corretta $S_n^2=1/(n-1)sum_i^n(X_i-\bar X)^2$, infatti $E[S_n^2]=E[n/(n-1)\hat sigma_n^2]=V[X]$.[/quote]
anche qui non c'è davvero nulla da dire, praticamente ora il creatore del thread ha tutti gli elementi sulla correttezza degli stimatori di media e varianza per un campione estratto da una popolazione NORMALE di media $mu$ e varianza $sigma^2$. Io ho scelto di verificare la correttezza di $mu$ estratto con CCS da una pop normale ma avrei potuto scegliere di verificare correttezza dello stimatore "talditali" con un campione estratto da una popolazione "talditali".
Salutii
[/quote]molto interessante, grazie
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