Stimatore di massima verosimiglianza $\lambda$ pareto
Ho un esercizio che mi chiede di trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per $\lambda$ in una distribuzione di Pareto distribuita come:
$ f(x,\lamda,\theta) = \theta \lambda ^\theta x ^{-(\lambda + 1)}$ con $ x\ge \lamda, \lambda>0, \theta>0$
$\theta=2$
La prima osservazione che si fa è che non dovremmo essere in un problema regolare di stima perchè il supporto della variabile dipende dal parametro $\lambda$.
Scrivendo la verosimiglianza con $\theta$ noto ho
$L(\lambda,x) = \prod_{i=1}^n 2\lambda^2 x_i^-3 I_{(\lambda,+\infty)}(x)$ (non so come si scrive la funzione indicatrice, se qualcuno lo sa me lo dica please)
$\propto \lambda^{2n} \prod_{i=1}^n x_i^-3 I_{(\lambda,+\infty)}(x)$
Ok a questo punto non so più come andare avanti, o perlomeno immagino che devo scrivere la funzione indicatrice in $\lambda$ ma la produttoria della $x$ come la tratto?
E sopratutto una volta sistemata la funzione di verosimiglianza come ricavo lo stimatore?
Immagino che lo stimatore sia il valore più piccolo di x, ma analiticamente come lo calcolo?
$ f(x,\lamda,\theta) = \theta \lambda ^\theta x ^{-(\lambda + 1)}$ con $ x\ge \lamda, \lambda>0, \theta>0$
$\theta=2$
La prima osservazione che si fa è che non dovremmo essere in un problema regolare di stima perchè il supporto della variabile dipende dal parametro $\lambda$.
Scrivendo la verosimiglianza con $\theta$ noto ho
$L(\lambda,x) = \prod_{i=1}^n 2\lambda^2 x_i^-3 I_{(\lambda,+\infty)}(x)$ (non so come si scrive la funzione indicatrice, se qualcuno lo sa me lo dica please)
$\propto \lambda^{2n} \prod_{i=1}^n x_i^-3 I_{(\lambda,+\infty)}(x)$
Ok a questo punto non so più come andare avanti, o perlomeno immagino che devo scrivere la funzione indicatrice in $\lambda$ ma la produttoria della $x$ come la tratto?
E sopratutto una volta sistemata la funzione di verosimiglianza come ricavo lo stimatore?
Immagino che lo stimatore sia il valore più piccolo di x, ma analiticamente come lo calcolo?
Risposte
Hai usato $\theta$ come esponente della $x$ invece che $\lambda$, magari è lì il tuo intoppo.
anche a esponente c'è $\theta$... avevo sbagliato la formula iniziale... i passaggi fino a quel punto sono giusti
Analiticamente non puoi trattare problemi del genere, nel senso che in casi come questo non si usano le derivate.
Un problema aanalogo lo si ha anche quando bisogna stimare densità unifromi del su $[\lambda,1]$.
Dato che la tua idea sullo stimatore è giusta, puoi sforzarti di interpretare la tua intuizione in "maniera" logica.
Piccolo aiuto: se almeno una delle $x_j$ fosse minore di $\lambda$ la funzione di verosimiglianza sarebbe nulla, se (con abuso di notazione) $x_j>=\lambda$ per ogni $j$, avresti che le funzioni indicatrici assumono valore $1$ e quindi ti basterebbe studiare l'andamento della funzione di verosimiglianza che è strettamente ... puoi provare a concludere.
Nell'aiuto trovi un po' tutto quello che ti serve, ti ricordo che lo stimatore di massima verosimiglianza, per un noto teorema è "noto", se vale un certo tipo di fattorizzazione.
Un problema aanalogo lo si ha anche quando bisogna stimare densità unifromi del su $[\lambda,1]$.
Dato che la tua idea sullo stimatore è giusta, puoi sforzarti di interpretare la tua intuizione in "maniera" logica.
Piccolo aiuto: se almeno una delle $x_j$ fosse minore di $\lambda$ la funzione di verosimiglianza sarebbe nulla, se (con abuso di notazione) $x_j>=\lambda$ per ogni $j$, avresti che le funzioni indicatrici assumono valore $1$ e quindi ti basterebbe studiare l'andamento della funzione di verosimiglianza che è strettamente ... puoi provare a concludere.
Nell'aiuto trovi un po' tutto quello che ti serve, ti ricordo che lo stimatore di massima verosimiglianza, per un noto teorema è "noto", se vale un certo tipo di fattorizzazione.
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