Stimatore dei momenti

[Jack871]

Ciao.

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

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Sia $(X_1, ..., X_n)$, $n >= 2$, un campione casuale estratto da una legge avente la densità data dalla funzione

$f(x) = (theta + 1) 2^{-(theta + 1)} x^theta 1_{(0,2)}(x)$, $AAx in RR$

dove $theta in (-1, +infty)$.

[list=a][*:1yccbjbd]Calcolare $E[X_1 + 2 X_2]$ e $Var(X_1)$.[/*:m:1yccbjbd]
[*:1yccbjbd]Determinare con il metodo dei momenti uno stimatore $hat(Theta)$ di $theta$.[/*:m:1yccbjbd][/list:o:1yccbjbd]
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[list=a][*:1yccbjbd]Per il primo punto ho ragionato così:

$E[X_1] = int_(-infty)^(-infty) x f(x) dx
= int_(-infty)^(-infty) x (theta + 1) 2^{-(theta + 1)} x^theta 1_{(0,2)}(x) dx
= {theta + 1}/{2^{theta + 1}} int_(0)^(2) x^{theta+1] (x) dx
= {theta + 1}/{2^{theta + 1}} [x^{theta + 2}/{theta + 2}]_(0)^(2)
= {theta + 1}/{2^{theta + 1}} 2^{theta + 2}/{theta + 2}
= 2 {theta + 1}/{theta + 2}$

dunque $E[X_1] in [0,2]$ e poiché $E[X_1] = E[X_2]$ si ha

$E[X_1 + 2 X_2] = E[X_1] + 2 E[X_2] = 2 {theta + 1}/{theta + 2} + 4 {theta + 1}/{theta + 2} = 6 {theta + 1}/{theta + 2}$

da cui $E[X_1 + 2 X_2] in [0,6]$


Ripetendo gli stessi passaggi, per ogni intero $m >= 1$, si ha

$E[X_1^m] = 2^m {theta + 1}/{theta + 2}$

e dunque

$Var(X_1) = E[X_1^2] - E[X_1]^2
= 4 {theta + 1}/{theta + 2} - (2 {theta + 1}/{theta + 2})^2
= 4 {theta + 1}/{theta + 2} (1 - {theta + 1}/{theta + 2})$

È corretto?

[/*:m:1yccbjbd]
[*:1yccbjbd]Per il secondo punto avrei bisogno di qualche suggerimento su come approcciare il problema.[/*:m:1yccbjbd][/list:o:1yccbjbd]


Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

"Jack87":


Ripetendo gli stessi passaggi, per ogni intero $m >= 1$, si ha

$E[X_1^m] = 2^m {theta + 1}/{theta + 2}$

e dunque

$Var(X_1) = E[X_1^2] - E[X_1]^2
= 4 {theta + 1}/{theta + 2} - (2 {theta + 1}/{theta + 2})^2
= 4 {theta + 1}/{theta + 2} (1 - {theta + 1}/{theta + 2})$

È corretto?

no questo non va bene

$E(X^2)=(theta+1)2^(-(theta+1))int_(0)^(2)x^(theta+2)dx=(theta+1)2^(-(theta+1))/(theta+3)[x^(theta+3)]_(0)^(2)=4(theta+1)/(theta+3)$


quindi correggi la varianza di conseguenza...

Per il punto 2 occorre preventivamente riuscire ad esprimere $theta$ in funzione dei momenti della distribuzione

....ho anche controllato gli altri conti che hai fatto.


$mu=2(theta+1)/(theta+2)$

risolviamo in $theta$ ottenendo

$theta=2(1-mu)/(mu-2)$

quindi lo stimatore di $theta$ con il metodo dei momenti è

$hat(theta)=2(1-bar(x))/(bar(x)-2)$

ciò in quanto una volta espresso $theta=f(mu_(1),...,mu_(k))$ è sufficiente sostituire i momenti campionari a quelli della distribuzione.

[Jack871]

Grazie mille per le risposte!

In effetti nel calcolo dei momenti di ordine $m$ mi sono fatto prendere dall'entusiasmo.
L'espressione corretta dovrebbe essere:

$E[X_1^m] = 2^m {theta + 1}/{theta + m + 1}$

dunque ricalcolando la varianza

$Var(X_1) = E[X_1^2] - E[X_1]^2 = 4 {theta + 1}/{theta + 3} - (2 {theta + 1}/{theta + 2})^2
= 4 {theta + 1}/{theta + 3} - 4 ({theta + 1}/{theta + 2})^2$

quindi, in particolare, la varianza è nulla agli estremi dell'intervallo di definizione di $theta$, ossia $Var(X_1) = 0$ se $theta = -1$ e $theta to +infty$


Per il secondo punto mi hai battuto sul tempo, infatti poco dopo aver pubblicato la discussione ero riuscito a risolvere l'esercizio con il metodo da te esposto. Quindi grazie per la conferma!


Grazie mille per l'aiuto!