Statistiche di ordinamento - caso discreto
Supponiamo di avere $n$ realizzazioni $X_1,\ldots,X_n$, di una v.a. discreta (ad esempio, una Poisson) con pdf $f(x)$ e cdf $F(x)$ (dove si intende $f(x) = P[X_i = x]$, con $1\leq i \leq n$ e $x$ è un numero intero).
Dopo aver ordinato le realizzazioni (che sono quindi v.a. i.i.d.) dalla più piccola alla più grande, e indicando con $X_{(k)}$ la $k$-esima realizzazione ordinata, si ha quindi che $X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\ldots\leq X_{(n -1)} \leq X_{(n)}$.
Sono interessato alla distribuzione congiunta di due generiche $X_{(i)}$ e $X_{(j)}$.
La distribuzione della singola $X_{(i)}$ è facile da trovare:
\(\displaystyle F_{X_{(i)}}(x) = \sum_{k = i}^n \binom{n}{k} [F(x)]^k [1 - F(x)]^{n - k}\)
visto che stiamo cercando la probabilità di avere almeno $i$ realizzazioni $\leq x$.
Nella pagina di wikipedia la distribuzione congiunta $f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x,y)$ viene ricavata nel caso in cui la v.a. $X$ di partenza sia continua, mentre nel caso della v.a. discreta trovo solo la distribuzione di $X_{(i)}$.
In queste dispense a pagina 17 viene ricavata la statistica congiunta usando un approccio multinomiale, però non viene espressa in forma chiusa.
A pagina 18 viene analizzato l'esempio molto semplice in cui $n = 2$ e la soluzione è che la congiunta ha la stessa forma del caso continuo (lo si vede provando a sostituire nella formula di wikipedia).
Ammetto una certa ignoranza sulle distribuzioni multinomiali, che non ho mai usato.
Qualcuno mi saprebbe esplicitare la formula per la distribuzione congiunta di due generiche v.a. ordinate? A dire il vero io sono interessato alla congiunta di due realizzazioni ordinate consecutive $X_{(i)}$ e $X_{(i + 1)}$, ma farebbe comodo avere il caso generale.
Dopo aver ordinato le realizzazioni (che sono quindi v.a. i.i.d.) dalla più piccola alla più grande, e indicando con $X_{(k)}$ la $k$-esima realizzazione ordinata, si ha quindi che $X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\ldots\leq X_{(n -1)} \leq X_{(n)}$.
Sono interessato alla distribuzione congiunta di due generiche $X_{(i)}$ e $X_{(j)}$.
La distribuzione della singola $X_{(i)}$ è facile da trovare:
\(\displaystyle F_{X_{(i)}}(x) = \sum_{k = i}^n \binom{n}{k} [F(x)]^k [1 - F(x)]^{n - k}\)
visto che stiamo cercando la probabilità di avere almeno $i$ realizzazioni $\leq x$.
Nella pagina di wikipedia la distribuzione congiunta $f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x,y)$ viene ricavata nel caso in cui la v.a. $X$ di partenza sia continua, mentre nel caso della v.a. discreta trovo solo la distribuzione di $X_{(i)}$.
In queste dispense a pagina 17 viene ricavata la statistica congiunta usando un approccio multinomiale, però non viene espressa in forma chiusa.
A pagina 18 viene analizzato l'esempio molto semplice in cui $n = 2$ e la soluzione è che la congiunta ha la stessa forma del caso continuo (lo si vede provando a sostituire nella formula di wikipedia).
Ammetto una certa ignoranza sulle distribuzioni multinomiali, che non ho mai usato.
Qualcuno mi saprebbe esplicitare la formula per la distribuzione congiunta di due generiche v.a. ordinate? A dire il vero io sono interessato alla congiunta di due realizzazioni ordinate consecutive $X_{(i)}$ e $X_{(i + 1)}$, ma farebbe comodo avere il caso generale.
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