Speranza matematica di $ Y=g(X) $
Salve a tutti, stavo ragionando su questo esercizio:
Ho pensato di procedere in questo modo (faccio presente che non mastico calcolo delle probabilità da un bel po')
[tex]y = g\left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{X} \;\; \to \;\; x = g^{ - 1} \left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{y}[/tex]. Dalla teoria so che
[tex]f_Y \left( y \right) = \left| {\displaystyle\frac{d}{{dy}}g^{ - 1} \left( y \right)} \right|f_X \left( {g^{ - 1} \left( y \right)} \right)[/tex]. Quindi, dato che [tex]\left| {\displaystyle\frac{d}{{dy}}g^{ - 1} \left( y \right)} \right| = \displaystyle\frac{1}{{y^2 }}[/tex] ho, nel mio caso, che
[tex]f_Y \left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{{y^2 }}\displaystyle\frac{\lambda }{{\Gamma \left( n \right)}}\left( {\displaystyle\frac{\lambda }{y}} \right)^{n - 1} \exp \left\{ { - \displaystyle\frac{\lambda }{y}} \right\}I_{\left( {0, + \infty } \right)} \left( y \right)[/tex]
A questo punto [tex]E\left( Y \right) = \displaystyle\int_0^{ + \infty } {yf_Y \left( y \right)dy}[/tex], il quale, dopo alcuni passaggi (sempre che non abbia fatto errori) diventa [tex]E\left( Y \right) = \displaystyle\frac{{\lambda ^n }}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^{ + \infty } {y^{ - n} e^{ - \lambda /y} dy}[/tex]. Ora io mi blocco a calcolare questo integrale (sempre che sia giusto). Come si procede? Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
Data una variabile aleatoria [tex]X \sim Gamma(n,\lambda)[/tex] , calcolare $ E(Y) $, dove $ Y=1/X $.
Ho pensato di procedere in questo modo (faccio presente che non mastico calcolo delle probabilità da un bel po')
[tex]y = g\left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{X} \;\; \to \;\; x = g^{ - 1} \left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{y}[/tex]. Dalla teoria so che
[tex]f_Y \left( y \right) = \left| {\displaystyle\frac{d}{{dy}}g^{ - 1} \left( y \right)} \right|f_X \left( {g^{ - 1} \left( y \right)} \right)[/tex]. Quindi, dato che [tex]\left| {\displaystyle\frac{d}{{dy}}g^{ - 1} \left( y \right)} \right| = \displaystyle\frac{1}{{y^2 }}[/tex] ho, nel mio caso, che
[tex]f_Y \left( y \right) = \displaystyle\frac{1}{{y^2 }}\displaystyle\frac{\lambda }{{\Gamma \left( n \right)}}\left( {\displaystyle\frac{\lambda }{y}} \right)^{n - 1} \exp \left\{ { - \displaystyle\frac{\lambda }{y}} \right\}I_{\left( {0, + \infty } \right)} \left( y \right)[/tex]
A questo punto [tex]E\left( Y \right) = \displaystyle\int_0^{ + \infty } {yf_Y \left( y \right)dy}[/tex], il quale, dopo alcuni passaggi (sempre che non abbia fatto errori) diventa [tex]E\left( Y \right) = \displaystyle\frac{{\lambda ^n }}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^{ + \infty } {y^{ - n} e^{ - \lambda /y} dy}[/tex]. Ora io mi blocco a calcolare questo integrale (sempre che sia giusto). Come si procede? Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
Risposte
Ciao Aliseo,
io procederei per sostituzione ponendo $t=\frac{\lambda}{y}$, così facendo, se $n\in\mathbb{N}$, risulta $\frac{\lambda}{n-1}$ .
Un'alternativa è procedere in questo modo:
$E[Y]=E[g(X)]=\int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X} (x)dx=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^{+\infty} \frac{1}{x} x^{n-1}e^{-\lambda x}dx=\ldots$
il risultato è identitico.
buona giornata!
P.s. devo prendere un po' di manualità con l'editor delle formule..
io procederei per sostituzione ponendo $t=\frac{\lambda}{y}$, così facendo, se $n\in\mathbb{N}$, risulta $\frac{\lambda}{n-1}$ .
Un'alternativa è procedere in questo modo:
$E[Y]=E[g(X)]=\int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X} (x)dx=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^{+\infty} \frac{1}{x} x^{n-1}e^{-\lambda x}dx=\ldots$
il risultato è identitico.
buona giornata!
P.s. devo prendere un po' di manualità con l'editor delle formule..
Grazie per la risposta . Allora effettuando la sosituzione $ t=\lambda/y $ ottengo il seguente integrale
[tex]\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^\infty {t^{n - 1} e^{ - t} dt}[/tex] e dato che $ 1/(Gamma(n))=1/((n-1)!) $ il problema si riduce a risolvere l'integrale
[tex]\displaystyle\int_0^\infty {t^{n - 1} e^{ - t} dt}[/tex] e qui sorgono i problemi, cioè non riesco a capire da dove devo incominciare! Se volete aiutarmi sono qui!
. Allora effettuando la sosituzione $ t=\lambda/y $ ottengo il seguente integrale[tex]\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^\infty {t^{n - 1} e^{ - t} dt}[/tex] e dato che $ 1/(Gamma(n))=1/((n-1)!) $ il problema si riduce a risolvere l'integrale
[tex]\displaystyle\int_0^\infty {t^{n - 1} e^{ - t} dt}[/tex] e qui sorgono i problemi, cioè non riesco a capire da dove devo incominciare! Se volete aiutarmi sono qui!
No, hai sbagliato a fare la sostituzione...il cambio di variabili in un integrale si opera così:
$\int h(x)dx=\int h(\phi(t))\phi'(t)dt$
dove $\phi(t)$ rappresenta la sostituzione che vai ad effettuare ( va da se che $\phi$ deve essere differenziabile e $h$ integrabile...), inoltre devi modificare gli estremi di integrazione in base alla sostituzione che stai usando, ovvero, se gli estremi sono $a$ e $b$ in nuovi estremi saranno dati rispettivamente da $\phi^{-1}(a)$ e $\phi^{-1}(b)$.
L'integrale che dovrai risolvere alla fine non è molto distante da quello che hai ricavato (pur con quell'errore
) per calcolarlo puoi usare l'integrazione per parti, o ricordarti la definizione $\Gamma(n)\equiv\int_0^{ + \infty}t^{n-1}e^{-t} dt$.
Vedrai che se fai un paio di passaggi con il metodo di risoluzione per parti capisci anche perché (se non ti è chiaro..) $\Gamma(n)=(n-1)!$.
$\int h(x)dx=\int h(\phi(t))\phi'(t)dt$
dove $\phi(t)$ rappresenta la sostituzione che vai ad effettuare ( va da se che $\phi$ deve essere differenziabile e $h$ integrabile...), inoltre devi modificare gli estremi di integrazione in base alla sostituzione che stai usando, ovvero, se gli estremi sono $a$ e $b$ in nuovi estremi saranno dati rispettivamente da $\phi^{-1}(a)$ e $\phi^{-1}(b)$.
L'integrale che dovrai risolvere alla fine non è molto distante da quello che hai ricavato (pur con quell'errore
) per calcolarlo puoi usare l'integrazione per parti, o ricordarti la definizione $\Gamma(n)\equiv\int_0^{ + \infty}t^{n-1}e^{-t} dt$. Vedrai che se fai un paio di passaggi con il metodo di risoluzione per parti capisci anche perché (se non ti è chiaro..) $\Gamma(n)=(n-1)!$.
Allora mi sto perdendo, forse è meglio incominciare dall'inizio
Considerando quello che hai detto
e dato che $ f_X(x)=\lambda/(Gamma(n))*(\lambda x)^(n-1)e^(-\lambda x) $ si ha che
[tex]E\left( Y \right) = E\left[ {g\left( X \right)} \right] = \displaystyle\frac{{\lambda ^n }}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^\infty {x^{n - 2} e^{ - \lambda x} dx}[/tex]
ora l'ultimo integrale lo risolvo per parti ... ok! ... ma non finisco più!
Considerando quello che hai detto
"Jacknife":
Un'alternativa è procedere in questo modo:
$E[Y]=E[g(X)]=\int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X} (x)dx=$
e dato che $ f_X(x)=\lambda/(Gamma(n))*(\lambda x)^(n-1)e^(-\lambda x) $ si ha che
[tex]E\left( Y \right) = E\left[ {g\left( X \right)} \right] = \displaystyle\frac{{\lambda ^n }}{{\Gamma \left( n \right)}}\displaystyle\int_0^\infty {x^{n - 2} e^{ - \lambda x} dx}[/tex]
ora l'ultimo integrale lo risolvo per parti ... ok! ... ma non finisco più!
L'Italia perde 2-0 tanto vale fare dell'altro...
Ok, partendo da qua:
$\frac{\lambda^{2}}{\Gamma(n)}\int_0^{ +\infty} (\lambda x)^{n-2} e^{-\lambda x}dx$
uso la sostituzione $\lambda x= t$, si ha:
$\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\int_0^{ +\infty} t^{n-2} e^{-t}dt$
Si potrebbe concludere immediatamente dato che quello che c'è scritto qua sopra è pari a:
$\lambda\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)}=\lambda\frac{(n-2)!}{(n-1)!}=\frac{\lambda}{n-1}$
Veniamo all'integrale per parti, facciamo i primi passaggi:
$\int_0^{ +\infty} t^{n-2} e^{-t}dt=\[-t^{n-2}e^{-t}\]_{0}^{+\infty}+\int_0^{+\infty}(n-2)t^{n-3}e^{-t}dt$
Ora il termine tra parentesi è zero (provare per credere!), quindi dobbiamo calcolare:
$(n-2)\int_0^{+\infty}t^{n-3}e^{-t}dt=(n-2)\[-t^{n-2}e^{-t}\]_{0}^{+\infty}+(n-2)\int_0^{+\infty}(n-3)t^{n-4}e^{-t}dt$
Dato che il termine tra parentesi è di nuovo nullo, ci troviamo sostanzialmente al punto di partenza con:
$(n-2)(n-3)\int_0^{+\infty}t^{n-4}e^{-t}dt.$
A questo punto immagino che avrai capito come continua la storia...altrimenti:
Spero sia abbastanza chiaro
p.s. 3-2 caspita! mi son perso la parte divertente...
Ok, partendo da qua:
$\frac{\lambda^{2}}{\Gamma(n)}\int_0^{ +\infty} (\lambda x)^{n-2} e^{-\lambda x}dx$
uso la sostituzione $\lambda x= t$, si ha:
$\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\int_0^{ +\infty} t^{n-2} e^{-t}dt$
Si potrebbe concludere immediatamente dato che quello che c'è scritto qua sopra è pari a:
$\lambda\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)}=\lambda\frac{(n-2)!}{(n-1)!}=\frac{\lambda}{n-1}$
Veniamo all'integrale per parti, facciamo i primi passaggi:
$\int_0^{ +\infty} t^{n-2} e^{-t}dt=\[-t^{n-2}e^{-t}\]_{0}^{+\infty}+\int_0^{+\infty}(n-2)t^{n-3}e^{-t}dt$
Ora il termine tra parentesi è zero (provare per credere!), quindi dobbiamo calcolare:
$(n-2)\int_0^{+\infty}t^{n-3}e^{-t}dt=(n-2)\[-t^{n-2}e^{-t}\]_{0}^{+\infty}+(n-2)\int_0^{+\infty}(n-3)t^{n-4}e^{-t}dt$
Dato che il termine tra parentesi è di nuovo nullo, ci troviamo sostanzialmente al punto di partenza con:
$(n-2)(n-3)\int_0^{+\infty}t^{n-4}e^{-t}dt.$
A questo punto immagino che avrai capito come continua la storia...altrimenti:
Spero sia abbastanza chiaro
p.s. 3-2 caspita! mi son perso la parte divertente...
Ah ecco, ora mi è più chiaro! avevo intuito che dietro c'era un ragionamento per induzione, ma non riuscivo a capire come procedere! grazie jacknife
P.S. - riguardo la partita comunque non ci siamo persi niente ...
P.S. - riguardo la partita comunque non ci siamo persi niente ...
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