Speranza e convergenza in L^p di una successione
Salve,
mi sono ritrovata "bloccata" davanti al seguente esercizio:
Sia $(X_n)_{n>=1}$ una successione di variabili aleatorie indipendenti con $f_{X_n}(x)={{: (0, ;x<=0) , (n^2/(n^2x+1)^2, ;x>0) :}$
Calcolare $mathbb{E}[X_n^2]$ e dire se $(X_n)_n$ converge in $L^2$.
Io ho provato a calcolare l'integrale tra 0 e $infty$ di $x^2*f_{X_n}(x) dx$, so che diverge grazie a WolframAlpha ma non so come dimostrarlo.
Grazie.
Erika.
mi sono ritrovata "bloccata" davanti al seguente esercizio:
Sia $(X_n)_{n>=1}$ una successione di variabili aleatorie indipendenti con $f_{X_n}(x)={{: (0, ;x<=0) , (n^2/(n^2x+1)^2, ;x>0) :}$
Calcolare $mathbb{E}[X_n^2]$ e dire se $(X_n)_n$ converge in $L^2$.
Io ho provato a calcolare l'integrale tra 0 e $infty$ di $x^2*f_{X_n}(x) dx$, so che diverge grazie a WolframAlpha ma non so come dimostrarlo.
Grazie.
Erika.
Risposte
Nel punto precedente dell'esercizio ho studiato convergenza in legge e probabilità.. ed è uscito fuori che converge a zero...
Quindi per la convergenza in $L^2$ mi aspetto che il $lim_(n rarr +oo)mathbb{E}[X_n^2]=0$
Avendo la speranza di $X_n^2 = infty$ penso non converga in $L^2$ ...
Ma non so quale sia il giusto modo di ragionare e procedere per arrivare al risultato.
Quindi per la convergenza in $L^2$ mi aspetto che il $lim_(n rarr +oo)mathbb{E}[X_n^2]=0$
Avendo la speranza di $X_n^2 = infty$ penso non converga in $L^2$ ...
Ma non so quale sia il giusto modo di ragionare e procedere per arrivare al risultato.
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