Somma e quoziente di variabili aleatorie indipendenti
Ciao a tutti ragazzi 
sono alle prese con la preparazione dell'esame di probabilità e ho ancora qualche dubbio su qualche esercizio che sto cercando di risolvere, ve ne propongo uno: si hanno due variabili aleatorie indipendenti $ U $ e $ X $ con densità rispettivamente: $ f_U(u)=\mathbb{I}_{(0,1)}(u) $ e $ f_X(x)=e^{-x}\mathbb I_{(0,+\infty)} (x)$ , mi si chiede di trovare la funzione di ripartizione o la densità della somma $X+U$ e del quoziente $X/U$ tra le due variabili. Non ne ho la più pallida idea anche perchè su internet trovo solo esempi di variabili discrete. Non vi chiedo di risolvermelo perchè altrimenti non imparerei nulla, però se sareste disposti a darmi qualche indizio e a risolverlo insieme ne sarei felice, grazie di cuore <3
sono alle prese con la preparazione dell'esame di probabilità e ho ancora qualche dubbio su qualche esercizio che sto cercando di risolvere, ve ne propongo uno: si hanno due variabili aleatorie indipendenti $ U $ e $ X $ con densità rispettivamente: $ f_U(u)=\mathbb{I}_{(0,1)}(u) $ e $ f_X(x)=e^{-x}\mathbb I_{(0,+\infty)} (x)$ , mi si chiede di trovare la funzione di ripartizione o la densità della somma $X+U$ e del quoziente $X/U$ tra le due variabili. Non ne ho la più pallida idea anche perchè su internet trovo solo esempi di variabili discrete. Non vi chiedo di risolvermelo perchè altrimenti non imparerei nulla, però se sareste disposti a darmi qualche indizio e a risolverlo insieme ne sarei felice, grazie di cuore <3
Risposte
$F (z)=int int _(g (X,Y)
Se guardi in questa stanza troverai centinaia di esempi che ho già risolto e commentato
Buon lavoro
Se guardi in questa stanza troverai centinaia di esempi che ho già risolto e commentato
Buon lavoro
D'accordo, grazie mille tommik 
gentilissimo come sempre
gentilissimo come sempre
ecco comunque come fare; iniziamo dalla distribuzione della somma $Z=X+Y$
sappiamo che la densità congiunta è $f(x,y)=e^(-x)$ per l'indipendenza.
Osservando il grafico sottostante ti accorgi subito che il dominio di integrazione varia a seconda del variare di $z$.
Per $0
$F_(Z)(z)=int_(0)^(z)dyint_(0)^(z-y)e^(-x)dx=...=z-1+e^(-z)$
mentre per $z>1$ avremo
$F_(Z)(z)=int_(0)^(1)dyint_(0)^(z-y)e^(-x)dx=...=1+e^(-z)-e^(1-z)$
la densità la trovi derivando la z
ora prova tu con lo stesso metodo a trovare la distribuzione del rapporto.
ciao ciao
sappiamo che la densità congiunta è $f(x,y)=e^(-x)$ per l'indipendenza.
Osservando il grafico sottostante ti accorgi subito che il dominio di integrazione varia a seconda del variare di $z$.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Per $0
$F_(Z)(z)=int_(0)^(z)dyint_(0)^(z-y)e^(-x)dx=...=z-1+e^(-z)$
mentre per $z>1$ avremo
$F_(Z)(z)=int_(0)^(1)dyint_(0)^(z-y)e^(-x)dx=...=1+e^(-z)-e^(1-z)$
la densità la trovi derivando la z
ora prova tu con lo stesso metodo a trovare la distribuzione del rapporto.
ciao ciao
Ciao Tommik, a questo punto per fortuna mi hai scritto la soluzione perchè l'avevo sbagliata! Infatti io l'avevo risolto ricordando che: $ F_{Z}(z)=P\{Z\le z}=P{X+Y\lez}=P{Y\lez-X}=F_{Y}(z-x) $
A questo punto dunque, NON ho fatto una distinzione del dominio di $Z$ e mi viene solo una delle tue condizioni (la seconda) e non capisco come mai debba fare una distinzione nel dominio di $Z$
A questo punto dunque, NON ho fatto una distinzione del dominio di $Z$ e mi viene solo una delle tue condizioni (la seconda) e non capisco come mai debba fare una distinzione nel dominio di $Z$
Speravo si capisse dal grafico...devi integrare la densità congiunta sull'area colorata...se $z <=1$ integri su un triangolo altrimenti no....con il metodo grafico che ti ho mostrato difficilmente sbagli
Una volta terminato devi controllare le proprietà della F
1) $F_X(-oo)=0$
2) $F_X(+oo)=1$
3) $d/(dx)F>=0 AAx $
Con l'espressione che ho trovato io funziona....
Ps: dopo averti spiegato come fare mi sono accorto che in questo esempio il dominio andava partizionata e quindi, immaginando che avresti sbagliato, ho preferito postare la soluzione completa
Una volta terminato devi controllare le proprietà della F
1) $F_X(-oo)=0$
2) $F_X(+oo)=1$
3) $d/(dx)F>=0 AAx $
Con l'espressione che ho trovato io funziona....
Ps: dopo averti spiegato come fare mi sono accorto che in questo esempio il dominio andava partizionata e quindi, immaginando che avresti sbagliato, ho preferito postare la soluzione completa
Ah ora ho capito!!! Il fatto è che, come mostra il grafico appunto, dipende da dove è collocata $z$, perché varia a seconda che assuma valori inferiori o superiori all'uniforme!
Il fatto che avresti immaginato che avrei sbagliato, ti dirò, mi fa un po' triste! Significa che non sono ancora abile in nel giostrarmi in esercizi di un certo calibro.
Il fatto che avresti immaginato che avrei sbagliato, ti dirò, mi fa un po' triste! Significa che non sono ancora abile in nel giostrarmi in esercizi di un certo calibro.
Ciao Tommik, ho provato a risolvere quella col quoziente, è tutto il pomeriggio che ci provo, ma l'integrale della densità della funzione di ripartizione che ho trovato mi viene non convergente, quindi ho sbagliato da qualche parte e penso, a questo punto, di aver sbagliato i domini di integrazione. Non è che mi potresti dare una mano per favore? :/
$f(x)=e^(-x)I_([0;+oo))(x)$
$f(y)=I_((0;1))(y)$
$Z=X/Y$
cerchiamo $F_(Z)(z)=P(Zx/z)$
graficamente:
integro y-semplice
$F_(Z)(z)=int_(0)^(1)dyint_(0)^(zy)e^(-x)dx=...$ (due passaggi) $...=1+(e^(-z)-1)/z$
$z>0$ (strettamente maggiore)
$f(y)=I_((0;1))(y)$
$Z=X/Y$
cerchiamo $F_(Z)(z)=P(Z
graficamente:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
integro y-semplice
$F_(Z)(z)=int_(0)^(1)dyint_(0)^(zy)e^(-x)dx=...$ (due passaggi) $...=1+(e^(-z)-1)/z$
$z>0$ (strettamente maggiore)
Esatto, anche a me viene quel risultato, ma l'integrale tra $0$ e $+\infty$ della derivata di quella funzione di ripartizione non mi viene $1$. Com'è possibile? Cioè, in realtà è proprio quello $0$ che mi dà fastidio perchè $z$ in $0$ non è definita, la funzione di ripartizione mi esplode, ma allora dove posso integrare?
sbaglierai i conti...l'integrale che cerchi di fare è come dire
$F_Z(+oo)=1$
l'integrale della derivata....dai su. Come hai fatto tu hai già calcolato la funzione integrale....non devi integrare più nulla. L'esercizio finisce qui (chiede di calcolare o la funzione di ripartizione o la funzione di densità)
se derivi e poi integri ritorni ad avere F..... o no?
Formalmente hai che
$int_(0)^(+oo)f_Z(t)dt=F_(Z)(+oo)=lim_(z rarr+oo)1+(e^(-z)-1)/z=1$
$F_Z(+oo)=1$
l'integrale della derivata....dai su. Come hai fatto tu hai già calcolato la funzione integrale....non devi integrare più nulla. L'esercizio finisce qui (chiede di calcolare o la funzione di ripartizione o la funzione di densità)
se derivi e poi integri ritorni ad avere F..... o no?
Formalmente hai che
$int_(0)^(+oo)f_Z(t)dt=F_(Z)(+oo)=lim_(z rarr+oo)1+(e^(-z)-1)/z=1$
Errore da principiante nel calcolo della derivata del quoziente! Perdonami! E grazie di cuore dell'aiuto!!! Sì sì hai ragione, sono stato io un nabbo! Scusami ahah, grazie tommik, di cuore!
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