Somma di due uniformi
Buongiorno,
ho un esercizio sulla somma di due variabili uniformi ed indipendenti che non riesco ad impostare oltre un certo punto. L'esercizio dice:
Siano $X~Un[0,1]$ e $Y~Un[0,2]$ e zia $Z=X+2Y$. Calcolare la funzione di densità di $Z$.
Dunque, io ho proceduto in due modi: uno prettamente analitico che mi ha portato a risultati sbagliati e l'altro geometrico (con l'analisi del rettangolo $[0,1]$x$[0,2]$).
Prima di tutto ho notato che $0 leq Z leq 5$. Dal momento che $Y=frac{Z-X}{2}$ allora, essendo $0 leq Y leq 2$, vale anche $0 leq frac{Z-X}{2} leq 2$, cioè $0leqZ-Xleq4$, cioè $Z-4 leq X leq Z$.
Ora questo significa che $max(0,Z-4)leqXleqmin(1,Z)$. Credo, finora, di non aver commesso errori. Ora, però, quello che mi manca, credo, è un metodo per procedere: il mio problema è determinare in quali intervalli varia $Z$ (so bene che graficamente si vede subito facendo muovere la retta nel rettangolo, ma io vorrei per ora attenermi a questo modo di procedere). Ho continuato così:
$max(0,Z-4)=0 Leftrightarrow Z<4$ mentre $max(0,Z-4)=Z-4 Leftrightarrow Z geq 4$.
Allo stesso modo:
$min(1,Z)=Z Leftrightarrow Z<1$ mentre $min(1,Z)=1 Leftrightarrow Z geq 1$.
Credo a questo punto che io debba considerare tre casi:
I) $0leqz<1$
II) $1leqz<4$
III) $4leqz<5$
Ma a questo punto non so come proseguire, perché non so come trattare questi estremi, in particolar modo non so come far variare la $X$ nel secondo caso ($1leqz<4$).
Quanto al metodo geometrico, qualche anima gentile si prodigherebbe per farmi vedere il procedimento? Ho notato solo che:
I) per $0leqz<1$ ho l'area di un triangolo rettangolo di lati $z$ e $frac{z}{2}$, per cui l'area è $frac{z^2}{4}$
II) per $1leqz<4$ ho, all'aumentare di $z$, un parallelogramma di lato $frac{z-1}{2}$ e altezza costante pari a $h=1$, per cui l'area dovrebbe essere quella del parallelogramma più l'area intera del triangolino sottostante (dovrebbe essere $0.25$), vale a dire: $frac{z}{2}-frac{1}{4}$. Tuttavia questo valore mi sembra sbagliato, perché per alcuni valori di $z$, per esempio per $z=3$, ottengo che la fdr è maggiore di 1...
III) per $4leqz<5$ ho ragionato in termini di complementarietà. Ho trovato che il triangolo superiore, al variare di $z$, ha lati pari a $5-z$ e $frac{5-z}{2}$, per cui la ripartizione in quest'intervallo dovrebbe valere $1-frac{(5-z)^2}{4}$.
Insomma, mi interesserebbe soprattutto il primo metodo analitico, ma anche capire cosa sbaglio e acquisire un metodo univoco per risolvere questo tipo di esercizi. Vi ringrazio.
ho un esercizio sulla somma di due variabili uniformi ed indipendenti che non riesco ad impostare oltre un certo punto. L'esercizio dice:
Siano $X~Un[0,1]$ e $Y~Un[0,2]$ e zia $Z=X+2Y$. Calcolare la funzione di densità di $Z$.
Dunque, io ho proceduto in due modi: uno prettamente analitico che mi ha portato a risultati sbagliati e l'altro geometrico (con l'analisi del rettangolo $[0,1]$x$[0,2]$).
Prima di tutto ho notato che $0 leq Z leq 5$. Dal momento che $Y=frac{Z-X}{2}$ allora, essendo $0 leq Y leq 2$, vale anche $0 leq frac{Z-X}{2} leq 2$, cioè $0leqZ-Xleq4$, cioè $Z-4 leq X leq Z$.
Ora questo significa che $max(0,Z-4)leqXleqmin(1,Z)$. Credo, finora, di non aver commesso errori. Ora, però, quello che mi manca, credo, è un metodo per procedere: il mio problema è determinare in quali intervalli varia $Z$ (so bene che graficamente si vede subito facendo muovere la retta nel rettangolo, ma io vorrei per ora attenermi a questo modo di procedere). Ho continuato così:
$max(0,Z-4)=0 Leftrightarrow Z<4$ mentre $max(0,Z-4)=Z-4 Leftrightarrow Z geq 4$.
Allo stesso modo:
$min(1,Z)=Z Leftrightarrow Z<1$ mentre $min(1,Z)=1 Leftrightarrow Z geq 1$.
Credo a questo punto che io debba considerare tre casi:
I) $0leqz<1$
II) $1leqz<4$
III) $4leqz<5$
Ma a questo punto non so come proseguire, perché non so come trattare questi estremi, in particolar modo non so come far variare la $X$ nel secondo caso ($1leqz<4$).
Quanto al metodo geometrico, qualche anima gentile si prodigherebbe per farmi vedere il procedimento? Ho notato solo che:
I) per $0leqz<1$ ho l'area di un triangolo rettangolo di lati $z$ e $frac{z}{2}$, per cui l'area è $frac{z^2}{4}$
II) per $1leqz<4$ ho, all'aumentare di $z$, un parallelogramma di lato $frac{z-1}{2}$ e altezza costante pari a $h=1$, per cui l'area dovrebbe essere quella del parallelogramma più l'area intera del triangolino sottostante (dovrebbe essere $0.25$), vale a dire: $frac{z}{2}-frac{1}{4}$. Tuttavia questo valore mi sembra sbagliato, perché per alcuni valori di $z$, per esempio per $z=3$, ottengo che la fdr è maggiore di 1...
III) per $4leqz<5$ ho ragionato in termini di complementarietà. Ho trovato che il triangolo superiore, al variare di $z$, ha lati pari a $5-z$ e $frac{5-z}{2}$, per cui la ripartizione in quest'intervallo dovrebbe valere $1-frac{(5-z)^2}{4}$.
Insomma, mi interesserebbe soprattutto il primo metodo analitico, ma anche capire cosa sbaglio e acquisire un metodo univoco per risolvere questo tipo di esercizi. Vi ringrazio.
Risposte
"4xy":
Insomma, mi interesserebbe soprattutto il primo metodo analitico
E' quasi immediato: Ponendo $U=X$ la densità congiunta[nota]invocando il teorema fondamentale di trasformazione[/nota] di $Z,U$ è
$f_(ZU)(z,u)=1/4mathbb{1}_([0;1])(u)mathbb{1}_([u;u+4])(z)$
Integri in $U$ e trovi subito la densità richiesta
$f_Z(z)={{: ( z/4 ,;0<=z<1 ),( 1/4 , ;1<=z<4 ),( (5-z)/4 , ;4<=z<=5 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$
fine del problema.
"4xy":
Quanto al metodo geometrico, qualche anima gentile si prodigherebbe per farmi vedere il procedimento?
Qui, fra l'altro, hai dimenticato di moltiplicare l'area per la densità congiunta $f(x,y)$ . La FdR richiesta è
$F_Z(z)={{: ( 0 , z<0 ),( z^2/8 , ;0<=z<1 ),( 1/8+(z-1)/4 , ;1<=z<4 ),( 1-(5-z)^2/8 , ;4<=z<5 ),( 1 , ;z>=5 ) :}$
Derivi rispetto a $z$ e trovi, ovviamente, la stessa densità
"4xy":
mi interesserebbe anche acquisire un metodo univoco per risolvere questo tipo di esercizi.
Non si può. Hai diversi metodi a disposizione (non solo quelli che hai citato tu), a volte è meglio uno a volte l'altro. In questo caso è più veloce il primo metodo.
Ti ringrazio, tommik!
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