Somma di 2 vv.aa. Poissoniane discrete

[raff5184]

Ciao,

devo trovare la distribuzione della somma di due vv.aa. discrete che hanno pmf tipo Poisson. Ma sono bloccato sulla probabilità congiunta.

$P(X=n)=lambda^n*e^(-lambda)/(n!)$
$P(Y=n)=mu^n*e^(-mu)/(n!)$
con $n>=0$


Allora, il mio ragionamento.
Scelgo $Z=X+Y$ e voglio la distribuzione $P(Z<=m)$
Dato che non viene detto nulla sull'indipendenza la congiunta non è il prodotto delle marginali, quindi:

$p(m)=sum_(k=0)^mP(X=k; Y=m-k)$ , ma questa non riesco ad esprimerla così. Allora uso la condizionata:

In generale so che la pmf congiunta posso anche esprimerla come
$p_(XY)(X=x; Y=y) = P(Y=y|X=x) * P(X=x)$

Però non so come scrivere P(Y=y|X=x) in termini di $P(Y=n)=mu^n*e^(-mu)/(n!)$

Dove sbaglio?

[raff5184]

ciao,
secondo me si può risolvere, basta esprimere $P(Y=y|X=x)$ come
$P(Y=z-X|X=x)$ , dato che $z=x+y -> y=z-x$
Quindi viene
$P(Y=z-x)$ <- questa so scriverla e di qui è facile