Sistema in parallelo
problema:
Un’apparecchiatura `e costituita di due dispositivi stocasticamente indipendenti
che sono posti in parallelo. Il tempo di guasto del primo `e una variabile aleatoria distribuita
esponenzialmente con parametro λ, X, quello del secondo un v.a. uniforme Y nell’intervallo
[a,b] (con a, b > 0; a < b). Si chiede di calcolare: a) la funzione di ripartizione e la densit`a di
probabilit`a della v.c. Z = max(X, Y ) (cio`e il tempo di guasto del sistema); b) il valore atteso
E[Z], nel caso a = 1, b = 2, λ = 1.
il problema l ho rispolto in parte. non riesco a capire come calcolare la funzione di densita se z appartiene a [a,b].
cioè:
f(z) = 0 se z <0
f(z) = ? se z appartiene a [a,b]
f(z) = λe^λ*z se z>b
e come faccio a calcolare il valor medio E[Z] = E[max(X,Y)] ?
Un’apparecchiatura `e costituita di due dispositivi stocasticamente indipendenti
che sono posti in parallelo. Il tempo di guasto del primo `e una variabile aleatoria distribuita
esponenzialmente con parametro λ, X, quello del secondo un v.a. uniforme Y nell’intervallo
[a,b] (con a, b > 0; a < b). Si chiede di calcolare: a) la funzione di ripartizione e la densit`a di
probabilit`a della v.c. Z = max(X, Y ) (cio`e il tempo di guasto del sistema); b) il valore atteso
E[Z], nel caso a = 1, b = 2, λ = 1.
il problema l ho rispolto in parte. non riesco a capire come calcolare la funzione di densita se z appartiene a [a,b].
cioè:
f(z) = 0 se z <0
f(z) = ? se z appartiene a [a,b]
f(z) = λe^λ*z se z>b
e come faccio a calcolare il valor medio E[Z] = E[max(X,Y)] ?
Risposte
ti può essere utile il seguente risultato:
consideriamo due variabili aleatorie indipendenti $X,Y$
vogliamo calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$
$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{max(X,Y)<=z}=P{X<=z;Y<=z}$
che, per l'indipendenza fra $X$ e $Y$ porge
$F_(Z)(z)==PX<=z}P{Y<=z}=F_(X)(z)F_(Y)(z)$
la densità si ottiene derivando la CDF
consideriamo due variabili aleatorie indipendenti $X,Y$
vogliamo calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$
$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{max(X,Y)<=z}=P{X<=z;Y<=z}$
che, per l'indipendenza fra $X$ e $Y$ porge
$F_(Z)(z)==PX<=z}P{Y<=z}=F_(X)(z)F_(Y)(z)$
la densità si ottiene derivando la CDF
"tommik":
ti può essere utile il seguente risultato:
consideriamo due variabili aleatorie indipendenti $X,Y$
vogliamo calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$
$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{max(X,Y)<=z}=P{X<=z;Y<=z}$
che, per l'indipendenza fra $X$ e $Y$ porge
$F_(Z)(z)==PX<=z}P{Y<=z}=F_(X)(z)F_(Y)(z)$
la densità si ottiene derivando la CDF
grazie!! mi era sfuggito il fatto che la f di dens. fosse la derivata della f. di distr.!!!
non riesco però a trovare la relazione per calcolare il valor medio.
facciamo il caso specifico di $a=1$, $b=2$, $lambda=1$
dal risultato precedente otteniamo:
$F_(Z)(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),( (z-1)(1-e^(-z)) , ;z<=1<2 ),( 1-e^(-z) , ;z>=2 ) :}$
e quindi derivando otteniamo
$f_(Z)(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),( 1-e^(-z)(2-z) , ;z<=1<2 ),( e^(-z) , ;z>=2 ) :}$
a questo punto e facile calcolare la media tramite la definizione
$E(Z)=int_(-oo)^(+oo)zf(z)dz$
ora però non è che ogni esercizio....posti qui e poi ricopi eh....mi raccomando
hai capito come ho fatto a fare i conti?
e se invece i due dispositivi del sistema fossero collegati in serie?
dal risultato precedente otteniamo:
$F_(Z)(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),( (z-1)(1-e^(-z)) , ;z<=1<2 ),( 1-e^(-z) , ;z>=2 ) :}$
e quindi derivando otteniamo
$f_(Z)(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),( 1-e^(-z)(2-z) , ;z<=1<2 ),( e^(-z) , ;z>=2 ) :}$
a questo punto e facile calcolare la media tramite la definizione
$E(Z)=int_(-oo)^(+oo)zf(z)dz$
ora però non è che ogni esercizio....posti qui e poi ricopi eh....mi raccomando
hai capito come ho fatto a fare i conti?
e se invece i due dispositivi del sistema fossero collegati in serie?
"tommik":
hai capito come ho fatto a fare i conti?
SI, penso di aver capito... ovviamente l'integrale ha estremi 1 e 2 , giusto?
"tommik":
..e se invece i due dispositivi del sistema fossero collegati in serie?
si, so come si fa . grazie per la disponibilità e gentilezza!
No....ora mi domando....se hai capito come fare quando la variabile è il $min(X,Y)$ come mai hai problemi quando la variabile è $max(X,Y)$ che è più semplice?
mistero...
integrale da 1 a 2? e tutto il resto del dominio che facciamo? lo buttiamo?
mistero...
integrale da 1 a 2? e tutto il resto del dominio che facciamo? lo buttiamo?
"tommik":
ora mi domando....se hai capito come fare quando la variabile è il $min(X,Y)$ come mai hai problemi quando la variabile è $max(X,Y)$ che è più semplice?
mistero...
integrale da 1 a 2? e tutto il resto del dominio che facciamo? lo buttiamo?
mi puoi spiegare come si fa?
$E(Z)=int_(1)^(2)z[1-(2-z)e^(-z)]dz+int_(2)^(oo)ze^(-z)dz$
"tommik":
ora mi domando....se hai capito come fare quando la variabile è il $min(X,Y)$ come mai hai problemi quando la variabile è $max(X,Y)$ che è più semplice?
mistero...
integrale da 1 a 2? e tutto il resto del dominio che facciamo? lo buttiamo?
gentilmente...
"tommik":
[quote="mikdita"]
gentilmente...
non ho capito....[/quote]
mi puoo chiarire quest'altra cosa:
il problema è questo :
Si scelga a caso un numero X dall’insieme {1, 2, 3, 4} e poi si scelga a caso un secondo
numero Y dall’insieme in modo che sia Y ≥ X. Determinare per (X, Y ) le funzioni di massa
congiunta e marginali e i valori medi. Le variabili sono indipendenti? Quale `e la probabilit`a che
X + Y ≥ 3?
io sono riuscito a calcolare le funzioni di massa congiunta e marginali e i valori medio di X, e viene :
P(1, 1) = p(1, 2) = p(1, 3) = p(1, 4) = 1/16, p(2, 2) = p(2, 3) = p(2, 4) = 1/12,
p(3, 3) = p(3, 4) = 1/8, p(4, 4) = 1/4, altrove la funzione di massa congiunta `e nulla.
marginali:
pX(1) = pX(2) = pX(3) = pX(4) = 1/4,
pY (1) = 3/48, pY (2) = 7/48, pY (3) = 13/48, pY (4) = 25/48.
valor medio:
E[X] = 5/2,
E[Y ] = ? ?
P(X + Y ≥ 3) = ? come si fa? non riesco proprio a capirlo ....
grazie per la disponibilità
${: ( Y X , 1 , 2 , 3 , 4 , t o t ),( 1 , 3/48 , , , , 3/48 ),( 2 , 3/48 , 4/48 , , , 7/48 ),( 3 , 3/48 , 4/48 , 6/48 , , 13/48 ),( 4 , 3/48 , 4/48 , 6/48 , 12/48 , 25/48 ),( t o t, 12/48 , 12/48 , 12/48, 12/48 , 1) :}$
come vedi dalla tabella l'unico caso in cui $x+y<3$ è quando $X=1 nn Y=1$ e quindi la probabilità cercata
$P(X+Y>=3)=1-3/48=45/48$
La variabile Y la leggi nella prima e ultima colonna , valori e probabilità, rispettivamente...per cui la media è
$E(Y)=1\cdot3/48+2\cdot7/48+3\cdot13/48+4\cdot25/48=13/4$
...ovviamente le variabili NON sono indipendenti...lo si vede senza far conti dato che la tabella a doppia entrata presenta delle caselle vuote....per essere indipendenti ogni casella dovrebbe essere il prodotto dei due valori marginali.....
è più chiaro ora?
come vedi dalla tabella l'unico caso in cui $x+y<3$ è quando $X=1 nn Y=1$ e quindi la probabilità cercata
$P(X+Y>=3)=1-3/48=45/48$
La variabile Y la leggi nella prima e ultima colonna , valori e probabilità, rispettivamente...per cui la media è
$E(Y)=1\cdot3/48+2\cdot7/48+3\cdot13/48+4\cdot25/48=13/4$
...ovviamente le variabili NON sono indipendenti...lo si vede senza far conti dato che la tabella a doppia entrata presenta delle caselle vuote....per essere indipendenti ogni casella dovrebbe essere il prodotto dei due valori marginali.....
è più chiaro ora?
"tommik":
come vedi dalla tabella l'unico caso in cui $x+y<3$ è quando $X=1 nn Y=1$ e quindi la probabilità cercata
$P(X+Y>=3)=1-3/48=45/48$
La variabile Y la leggi nella prima e ultima colonna , valori e probabilità, rispettivamente...per cui la media è
$E(Y)=1\cdot3/48+2\cdot7/48+3\cdot13/48+4\cdot25/48=13/4$
...ovviamente le variabili NON sono indipendenti...lo si vede senza far conti dato che la tabella a doppia entrata presenta delle caselle vuote....per essere indipendenti ogni casella dovrebbe essere il prodotto dei due valori marginali.....
è più chiaro ora?
si , grazie.
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