Semplice esercizio (probabilità condizionale)

[Jack871]

Ciao!
Potreste gentilmente controllare se ho risolto correttamente il seguente esercizio, grazie!

Lo strumento principe per lo screening per il tumore al seno è la radiografia (mammografia). Definiamo X la situazione della donna: X={sana, malata}, che non conosciamo. Definiamo Y l’esito della mammografia: Y={positiva, negativa}, che viene misurato. Sappiamo che la sensitività della mammografia è intorno al 90% ( P(Y=positiva | X=malata) ) e che la specificità sia anch'essa del 90% ( P(Y=negativa | X=sana) ).

[*:1d2yq578]Qual è la probabilità che l’esame dia risultato positivo ( P(Y = positivo) ), sapendo che le donne malate sono lo 0,01% (P(X=malata) = 0,01%)?[/*:m:1d2yq578]
[*:1d2yq578]Qual è la percentuale di donne che hanno uno screening positivo, di essere effettivamente malate?[/*:m:1d2yq578][/list:u:1d2yq578]


Per quando riguarda il primo punto, inizio con l'osservare che

$text{sensibilità} = 90%$

$P(Y=p|X=m) = {P(Y=p nn X=m)}/{P(X=m)} => P(Y=p nn X=m) = P(X=m)P(Y=p|X=m)$


$text{specificità} = 90% => 1 - text{specificità} = 10%$

$P(Y=p|X=s) = {P(Y=p nn X=s)}/{P(X=s)} => P(Y=p nn X=s) = P(X=s)P(Y=p|X=s)$


$P(X=m) = 0.01% => P(X=s) = 99.99%$

Dunque

$P(Y=p) = P(Y=p nn X=m) + P(Y=p nn X=s)$

$ = P(X=m)P(Y=p|X=m) + P(X=s)P(Y=p|X=s)$

$ = 0.0001 * 0.9 + 0.9999 * 0.1 = 0.10008 ~= 10%$


Per il secondo punto, si ha

$P(Y=p nn X=m) = P(X=m)P(Y=p|X=m) = 0.0001 * 0.9 = 0.009%$

[Lo_zio_Tom]

il primo è giusto.

Il secondo invece è sbagliato. Il risultato corretto è $0.09%$


Il valore richiesto si chiama VPP (Valore Predittivo Positivo)

$VPP=(P(M nn T^+))/(P(T^+))$

tu hai calcolato solo il numeratore


...e lo stesso VPP nel caso avessero fatto 2 test entrambi positivi?

[Jack871]

Grazie mille per la risposta!

Ok penso di aver capito l'errore, ci riprovo.

La probabilità richiesta nel secondo punto dovrebbe essere

$P(X=m|Y=p) = {P(X=m nn Y=p)}/{P(Y=p)}$

$ = {P(X=m)P(Y=p|X=m)}/{P(Y=p)} = {0.0001 * 0.9}/{0.10008} = 0.000899 ~= 0.09%$


PS: ho corretto prima di guardare i tuoi ulteriori suggerimenti, grazie!