Scomposizione della varianza totale

[Sk_Anonymous]

Esercizio
Sono noti i dati relativi ai prezzi di un bene rilevati in cinque mercati: prezzo medio 20 e scarto quadratico medio 3 euro al quintale. Successivamente, vengono comunicati i dati relativi ad altri cinque mercati: prezzo medio 22 e scarto quadratico medio 2,65 euro al quintale. Quali sono i valori del prezzo medio e della varianza nel complesso dei dieci mercati?
Risultato: 21; 9
Ho risolto così: $sigma_Y^2=sigma_(Media(Y/X))^2+Media(sigma_{Y/X}^2)$
La media artimetica ponderata é $\bar y=$${$$\sum_{i=1}^n{y_in_i}}$/n$=21$
La varianza della Y può essere espressa come somma della varianza delle medie condizionate e della media delle varianze condizonate.
La varianza delle medie condizionate:
$sigma_(Media(Y/X))^2=$$1\n${$\sum_{i=1}^H}{n_i$}=$1$
La media delle varianze condizionate:
$Media(sigma_Y/X^2)=$1\n$*${$\sum_{i=1}^H}sigma_Y/{X=x_i}*n_i$=8,0113

[Aliseo1]

Allora abbiamo che

$ \mu_1=20 $, $ \sigma_1=3 $
$\mu_2=22$, $\sigma_2=2.65$

Ora, la media generale è $ (20+22)/2=21 $ e qui ci siamo con il risultato. La scomposizione della varianza può essere la seguente (formula alternativa)

$ \sigma^2=(\sum_{g=1}^{G} \sigma_{g}^2*n_g)/N + (\sum_{g=1}^{G}(\mu_g - \mu)^2*n_{g})/N $

Ora, nel nostro caso $N=10$, $g=2$ gruppi e $n_g=5$. Dunque, si ha

$ \sigma^2=((3^2*5)/10 + (2.65^2*5)/10) + (((20-21)^2*5)/10 + ((22-21)^2*5)/10 ) =8.01125 + 1=9.01125$.

Quindi i risultati sono giusti

[Sk_Anonymous]

Grazie mille Aliseo, non so se sei riuscito a decifrare la formula che ho scritto, purtroppo è andata via la linea e non ho avuto modo di correggerla prima che tu rispondessi. Essere in questo forum significa essere circondato di tanta brava gente come te, però non ti capita spesso nella vita e allora essere nel forum è come vivere un sogno e quindi a volte non ti sembra vero e cominci a dire cose che non stanno né in cielo né in terra, come ho fatto ieri io. Per questo chiedo scusa.

[Aliseo1]