Scambiabilità
ciao a tutti!! conoscete il teorema di rappresentazione di de Finetti per successioni di eventi scambiabili? Sapreste farmi qualche esempio al riguardo? magari sullo schema di TESTA-CROCE o su estrazioni da un'urna senza e con reimbussolamento??
Inoltre, sapreste dirmi cosa s'intende per limiting frequency???
Inoltre, sapreste dirmi cosa s'intende per limiting frequency???
Risposte
si, esattamente..per caso hai qualche indicazione in italiano?
Il teorema di de Finetti dice, in maniera molto pratica che, se abbiamo un vettore di osservazioni binarie dipendenti tra loro, sono intercambiabili se condizionando ad un parametro, la distribuzione congiunta condizionata al parametro può essere scritta come produttoria delle marginali condizionate
$pi(y_{1},y_{2},...,y_{n}|\theta)=\prod_{i=1}^{n}\pi(y_{i}|\theta)$
$pi(y_{1},y_{2},...,y_{n}|\theta)=\prod_{i=1}^{n}\pi(y_{i}|\theta)$
y_1,y_2,…,y_n sono dipendenti tra loro?? perchè a me risultava fossero indipendenti tra loro....?!?
"condizionando tra loro" significa che ognuna è condizionata al parametro $\theta$?
Grazie mille
"condizionando tra loro" significa che ognuna è condizionata al parametro $\theta$?
Grazie mille
le varie y sono dipendenti tra loro....la scambiabilità è l'ipotesi di indipendenza condizionata, cioè le y sono indipendenti condizionatamente ad $\theta$
sapresti farmi un esempio con testa e croce? o con estrazioni da un'urna?perchè non risesco a capire bene...-.-
Scusami se ti stresso ma vorrei capirci meglio…;) Faccio un esempio: siano le $y_i$ i risultati di una successione di lanci di una moneta, che supponiamo truccata.
Le $y_i$ allora sono dipendenti fra loro in quanto la moneta è truccata, dico bene?
Allora il teorema afferma che: condizionando al parametro $\theta$ la distribuzione delle y, ho che la successione $y_1,y_2,\dots,y_n$ è scambiabile (il che equivale a dire che la loro distribuzione congiunta condizionata al parametro $\theta$ può essere scritta come produttoria delle marginali condizionate??)??
“Condizionare al parametro $\theta$ “ significa nel caso del lancio della moneta, sapere che essa è truccata ma non conoscere le probabilità rispettive di testa e croce? O significa altro?
GRAZIE.
Le $y_i$ allora sono dipendenti fra loro in quanto la moneta è truccata, dico bene?
Allora il teorema afferma che: condizionando al parametro $\theta$ la distribuzione delle y, ho che la successione $y_1,y_2,\dots,y_n$ è scambiabile (il che equivale a dire che la loro distribuzione congiunta condizionata al parametro $\theta$ può essere scritta come produttoria delle marginali condizionate??)??
“Condizionare al parametro $\theta$ “ significa nel caso del lancio della moneta, sapere che essa è truccata ma non conoscere le probabilità rispettive di testa e croce? O significa altro?
GRAZIE.
la successione è scambiabile perchè puoi cambiare l'ordine delle y senza alterare la misura di probabilità.....le y sono dipendenti perchè la moneta è truccata...sapere come è truccata la moneta rende le tue misure indipendenti .
mi rendo conto che sono difficili da spiegarsi così questi concetti...ma in che senso le y sono condizionate al parametro?
p(y) è la probabilità di y, p(y|theta) e la prbabilità di y conoscendo theta.....
Ciao aram,
dal tono delle tue domande inferisco che ti sei accostato all'argomento da poco.
Provo a procedere per punti, con tutti i rischi di una sintesi eccessiva.
Immagina pure di avere una moneta (truccata o no, poco importa), che con probabilita "p" rende croce (C) e con probabilità 1-p" dà testa (T). Supponiamo sia uscita la sequenza {TCCTCTTCTT}, in cui compaiono 6 teste e 4 croci. Il processo (cioè il lancio ripetuto della moneta) è "scambiabile" se tutte le sequenze in cui vi sono lo stesso numero di teste e di croci hanno la stessa probabilità. Perciò, il processo è scambiabile se la probabilità di {TCCTCTTCTT} è la stessa di {TTTCTCTTCC} (nota bene: sempre 6 teste e 4 croci, ma in posizione diversa, "scambiata", rispetto alla sequenza inizale) ed è la stessa di qualsiasi sequenza altra in cui compaiono, scambiano ogni volte di posto, 6 teste e 4 croci (in generale x teste e y croci). Solo il numero di teste e di croci conta, non l'ordine in cui compaiono, per stabilire la probabilità della sequenza.
Ovviamente, se le variabili aleatorie sono indipendenti allora sono anche scambiabili (banale), ma in generale la scambiabilità è una richiesta più debole dell'indipendenza.
Per capire bene l'idea può essere utile avere in mente un processo "non scambiabile". Quello, a esempio, del numero di "centri" effettuati da un tiratore con l'arco o di canestri realizzati da un giocatore di basket. E' presumbile che i successi si concentrino nella fase iniziale delle prove (magari perchè si è più concentrati e più riposati) e che dopo diminuiscano. La probabilità dia avere {SI-SI-SI-NO-SI-NO-NO} non è allora la stessa di avere {NO-NO-NO-SI-SI-SI-SI}, sebbene il numero di "SI" e di "NO" sia lo stesso nelle due sequenze.
Tieni sempre presente che l'essere o meno "scambiabile" non è una caratteristica intrinseca del processo, ma è sempre un giudizio soggettivo sul modo in cui si presume siano generati i dati. Concordiamo in molti sul fatto che il processo "testa&croce" è scambiabile e che il processo "tiro con l'arco" non lo sia. Però, se qualcuno ti dicesse che, per lui, anche il tiro con l'arco è scambiabile, non potrebbe essere accusato di sbagliarsi ...
Ciò premesso, de Finetti dà un criterio per stabilire se una sequenza di eventi sia o meno scambiabile (sempre nel senso "soggettivo" chiarito sopra). La potenza di questo criterio è nel dare una spiegazione logica precisa a quella assurdità della statistica oggettivista che va sotto il nome di "eventi aleatori indipendenti e somiglianti, con probabilità incognita", dove grazie (sic!) all'ultima precisazione ("probabilità incognita") viene distrutta la presunta indipendenza (visto che ogni nuova osservazione fa variare la probabilità). Insomma, il teorema di rappresentazione di de Finetti risolve quel cortocircuito creato dalla supersistione di prensare a probabilità oggettive incognite, che l'esperienza empirica dovrebbe aiutare a scoprire sempre meglio ...
dal tono delle tue domande inferisco che ti sei accostato all'argomento da poco.
Provo a procedere per punti, con tutti i rischi di una sintesi eccessiva.
Immagina pure di avere una moneta (truccata o no, poco importa), che con probabilita "p" rende croce (C) e con probabilità 1-p" dà testa (T). Supponiamo sia uscita la sequenza {TCCTCTTCTT}, in cui compaiono 6 teste e 4 croci. Il processo (cioè il lancio ripetuto della moneta) è "scambiabile" se tutte le sequenze in cui vi sono lo stesso numero di teste e di croci hanno la stessa probabilità. Perciò, il processo è scambiabile se la probabilità di {TCCTCTTCTT} è la stessa di {TTTCTCTTCC} (nota bene: sempre 6 teste e 4 croci, ma in posizione diversa, "scambiata", rispetto alla sequenza inizale) ed è la stessa di qualsiasi sequenza altra in cui compaiono, scambiano ogni volte di posto, 6 teste e 4 croci (in generale x teste e y croci). Solo il numero di teste e di croci conta, non l'ordine in cui compaiono, per stabilire la probabilità della sequenza.
Ovviamente, se le variabili aleatorie sono indipendenti allora sono anche scambiabili (banale), ma in generale la scambiabilità è una richiesta più debole dell'indipendenza.
Per capire bene l'idea può essere utile avere in mente un processo "non scambiabile". Quello, a esempio, del numero di "centri" effettuati da un tiratore con l'arco o di canestri realizzati da un giocatore di basket. E' presumbile che i successi si concentrino nella fase iniziale delle prove (magari perchè si è più concentrati e più riposati) e che dopo diminuiscano. La probabilità dia avere {SI-SI-SI-NO-SI-NO-NO} non è allora la stessa di avere {NO-NO-NO-SI-SI-SI-SI}, sebbene il numero di "SI" e di "NO" sia lo stesso nelle due sequenze.
Tieni sempre presente che l'essere o meno "scambiabile" non è una caratteristica intrinseca del processo, ma è sempre un giudizio soggettivo sul modo in cui si presume siano generati i dati. Concordiamo in molti sul fatto che il processo "testa&croce" è scambiabile e che il processo "tiro con l'arco" non lo sia. Però, se qualcuno ti dicesse che, per lui, anche il tiro con l'arco è scambiabile, non potrebbe essere accusato di sbagliarsi ...
Ciò premesso, de Finetti dà un criterio per stabilire se una sequenza di eventi sia o meno scambiabile (sempre nel senso "soggettivo" chiarito sopra). La potenza di questo criterio è nel dare una spiegazione logica precisa a quella assurdità della statistica oggettivista che va sotto il nome di "eventi aleatori indipendenti e somiglianti, con probabilità incognita", dove grazie (sic!) all'ultima precisazione ("probabilità incognita") viene distrutta la presunta indipendenza (visto che ogni nuova osservazione fa variare la probabilità). Insomma, il teorema di rappresentazione di de Finetti risolve quel cortocircuito creato dalla supersistione di prensare a probabilità oggettive incognite, che l'esperienza empirica dovrebbe aiutare a scoprire sempre meglio ...
Quindi la condizione necessaria e sufficiente per la scambiabilità quale sarebbe? Avete una traccia della dimostrazione del teorema ?
quindi quale sarebbe il criterio che dà de finetti (immagino nel teorema di rappresentazione)?
Il teorema mi dice che posso considerare la distribuzione di probabilità congiunta come combinazione lineare di tutte le singole probabilità che il parametro $\theta$ può assumere?
Ed è vero che subordinatamente a $\theta$ le successioni di eventi scambiabili sono equiprobabili ed equidistribuite?
Il teorema mi dice che posso considerare la distribuzione di probabilità congiunta come combinazione lineare di tutte le singole probabilità che il parametro $\theta$ può assumere?
Ed è vero che subordinatamente a $\theta$ le successioni di eventi scambiabili sono equiprobabili ed equidistribuite?
"gandalf.74":
Tieni sempre presente che l'essere o meno "scambiabile" non è una caratteristica intrinseca del processo, ma è sempre un giudizio soggettivo sul modo in cui si presume siano generati i dati. Concordiamo in molti sul fatto che il processo "testa&croce" è scambiabile e che il processo "tiro con l'arco" non lo sia. Però, se qualcuno ti dicesse che, per lui, anche il tiro con l'arco è scambiabile, non potrebbe essere accusato di sbagliarsi ...
Ciò premesso, de Finetti dà un criterio per stabilire se una sequenza di eventi sia o meno scambiabile (sempre nel senso "soggettivo" chiarito sopra). La potenza di questo criterio è nel dare una spiegazione logica precisa a quella assurdità della statistica oggettivista che va sotto il nome di "eventi aleatori indipendenti e somiglianti, con probabilità incognita", dove grazie (sic!) all'ultima precisazione ("probabilità incognita") viene distrutta la presunta indipendenza (visto che ogni nuova osservazione fa variare la probabilità). Insomma, il teorema di rappresentazione di de Finetti risolve quel cortocircuito creato dalla supersistione di prensare a probabilità oggettive incognite, che l'esperienza empirica dovrebbe aiutare a scoprire sempre meglio ...
Mi permetto di dire che questa valutazione (quella sottolineata) rappresenta solo un punto di vista.
Le variabili aleatorie possono essere scambiabili così come possono essere dipendenti o indipendenti senza che questo ci costringa ad accettare l'approccio soggettivista.
Che poi de Finetti sia IL soggettivista radicale per eccellenza e che tutta la sua teoria delle probabilità sia inperniata su tale approccio e che, quindi, il suo teorema si collochi con naturalezza in esso ... è un'altro discorso.
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