Rv distribuita Uniforme

[franchinho]

Salve.
Sia $ Y=1-X^2 $, dove $ X~ U(0,1) $. Quale è vera?
-$ E(Y^2)=2 $
- $ E(Y^2)=1/2 $
- $ var(Y)=1/12 $
- $ E(Y)=E(Y^2) $
-Nessuna delle altre risposte.
Soluzione:
mi calcolo: $ E(Y^2)=E(1-X^2)^2=E(1+X^4-2X^2)=1+E(X^4)-2E(X^2) $, poi?

[franchinho]

$ E(X^2)=(1^3-0^3)/(3(1)) $
$ E(X^4)=(1^5)/5=1/5 $
$ E(Y^2)=1+(1/5)-2*(1/3)=1+1/5-2/3=(15+3-10)/15=(8/15)!= 2!= 1/2 $, quindi prima e seconda false.
$ var(Y)=var(1-X^2)=var(1)-var(X^2)=0-var(X^2) $
$ var(X)=((b-a)^2)/12=((1-0)^2)/12=1/12 $
Ma quale formula devo applicare in $E(X^2)$ e in $E(X^4)$ per ottenere quei valori?

[feddy]

Per calcolare l'aspettazione di una r.v. (assolutamente continua, e tutti gli altri crismi supponi siano verificati) altro non bisogna fare che un integrale: $\mathbb{E}[X^2]= \int_{0}^{1} x^2 \text{d}x$. Analogamente con $X^4$.
Vorrei farti notare che il fatto che l'aspettazione è un integrale ( o una sommatoria nel caso discreto) è il motivo per cui sei autorizzato a scrivere cose come

"Francobati": $ E(Y^2)=E(1-X^2)^2=E(1+X^4-2X^2)=1+E(X^4)-2E(X^2) $, poi?

.

Tutto questo viene dalle linearità dell'integrale.