Risoluzione esercizio - processi aleatori
Salve a tutti,
è la prima volta che posto un argomento su questo forum; ho letto il regolamento e spero di non violare le regole con quello che scriverò di seguito.
Sono una studentessa di Ingegneria dell'Informazione e, insieme ad alcuni colleghi, il 7 dovrei sostenere l'appello di probabilità e statistica. Vi scrivo queste cose per farvi capire il contesto in cui si trova l'esercizio che non riusciamo a risolvere...
Il libro che noi usiamo è "Teoria dei fenomeni aleatori" di Galdi e Conte. L'appello precedente a questo è stato proposto un esercizio che nessuno di noi ha saputo svolgere (risultato: tutti bocciati!) e di cui il docente non ha voluto darci la soluzione.
La traccia dell'esercizio è la seguente:
Sia x(t) un processo gaussiano SSL con media nulla e funzione di autocorrelazione rx($\tau$) = $\delta$($\tau$).
Caratterizzare il processo z(n) = y(nT) - y((n - 1)T), n appartenente a $ZZ$
assumendo che y(t) sia l'uscita di un sistema passabasso con risposta in frequenza H(f) = rect(f/2B), sollecitato da x(t).
Noi abbiamo provato a risolverlo, con l'unico suggerimento del docente di usare la PSD, e la "bozza" dell'esercizio è questa: http://img28.imageshack.us/img28/1373/ese319022013.jpg
Qualcuno potrebbe dirci se abbiamo risolto correttamente o se abbiamo sbagliato (e dove possibilmente)?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarci.
è la prima volta che posto un argomento su questo forum; ho letto il regolamento e spero di non violare le regole con quello che scriverò di seguito.
Sono una studentessa di Ingegneria dell'Informazione e, insieme ad alcuni colleghi, il 7 dovrei sostenere l'appello di probabilità e statistica. Vi scrivo queste cose per farvi capire il contesto in cui si trova l'esercizio che non riusciamo a risolvere...
Il libro che noi usiamo è "Teoria dei fenomeni aleatori" di Galdi e Conte. L'appello precedente a questo è stato proposto un esercizio che nessuno di noi ha saputo svolgere (risultato: tutti bocciati!) e di cui il docente non ha voluto darci la soluzione.
La traccia dell'esercizio è la seguente:
Sia x(t) un processo gaussiano SSL con media nulla e funzione di autocorrelazione rx($\tau$) = $\delta$($\tau$).
Caratterizzare il processo z(n) = y(nT) - y((n - 1)T), n appartenente a $ZZ$
assumendo che y(t) sia l'uscita di un sistema passabasso con risposta in frequenza H(f) = rect(f/2B), sollecitato da x(t).
Noi abbiamo provato a risolverlo, con l'unico suggerimento del docente di usare la PSD, e la "bozza" dell'esercizio è questa: http://img28.imageshack.us/img28/1373/ese319022013.jpg
Qualcuno potrebbe dirci se abbiamo risolto correttamente o se abbiamo sbagliato (e dove possibilmente)?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarci.
Risposte
"robychan253":
Noi abbiamo provato a risolverlo, con l'unico suggerimento del docente di usare la PSD, e la "bozza" dell'esercizio è questa: http://img28.imageshack.us/img28/1373/ese319022013.jpg
Il testo è quasi illeggibile.
Scusami hai ragione, purtroppo me l'hanno passata via mail. Comunque ho riscritto tutto e passo il nuovo link a cui fare riferimento.
http://img854.imageshack.us/img854/8553/011iiu.jpg
http://img854.imageshack.us/img854/8553/011iiu.jpg
Più facile se usi \(\displaystyle \LaTeX \)
\(\displaystyle r_x(\tau)=\delta(\tau) \)
\(\displaystyle S_{xx}(j\omega)=CTFT(r_x(\tau))=... \)
\(\displaystyle S_{yy}(j\omega)=S_{xx}(j\omega) \cdot \vert H(j\omega) \vert ^2=... \)
\(\displaystyle r_y(\tau)=inverse-CTFT(S_{yy}(j\omega))=... \)
\(\displaystyle r_z(\tau)=... \)
\(\displaystyle r_x(\tau)=\delta(\tau) \)
\(\displaystyle S_{xx}(j\omega)=CTFT(r_x(\tau))=... \)
\(\displaystyle S_{yy}(j\omega)=S_{xx}(j\omega) \cdot \vert H(j\omega) \vert ^2=... \)
\(\displaystyle r_y(\tau)=inverse-CTFT(S_{yy}(j\omega))=... \)
\(\displaystyle r_z(\tau)=... \)
Ti ringrazio per i suggerimenti. Solo che ci siamo bloccati qui: Syy(f)=Sxx(f)⋅|H(f)|^2=...
Cioè, Sxx(f) = 1 e quindi resta la funzione di trasferimento dell'energia di |H(f)|^2 della finestra rettangolare, che non sappiamo quanto viene...
P.S: Non so usare latex e al momento non ho neanche tempo per imparare ad usarlo, quindi mi scuso se rispondo usando del testo grezzo!
Cioè, Sxx(f) = 1 e quindi resta la funzione di trasferimento dell'energia di |H(f)|^2 della finestra rettangolare, che non sappiamo quanto viene...
P.S: Non so usare latex e al momento non ho neanche tempo per imparare ad usarlo, quindi mi scuso se rispondo usando del testo grezzo!
"robychan253":
che non sappiamo quanto viene...
Temo di non capire il tuo problema. Penso che sia così.
\(\displaystyle S_{xx}(j\omega)=CTFT(r_x(\tau))=1 \)
\(\displaystyle S_{yy}(j\omega)=S_{xx}(j\omega) \cdot \vert H(j\omega) \vert ^2=\vert H(j\omega) \vert ^2=rect\left(\frac{ \omega}{4 \pi B}\right) \)
\(\displaystyle r_y(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-2\pi B}^{2\pi B} rect\left(\frac{ \omega}{4 \pi B}\right) e^{j\omega\tau}\ \text{d}\omega = ...\)
Il dubbio era sulla seconda formula che hai scritto: anche a noi era uscita la finestra rettangolare, ma pensavamo che fosse "troppo facile" come soluzione!
In ogni caso, abbiamo antitrasformato per ottenere l'autocorrelazione d'uscita e l'abbiamo inserita nell'autocorrelazione finale della z(n). A questo punto crediamo di averlo risolto correttamente grazie al tuo aiuto.
Allego la soluzione finale che abbiamo ottenuto.
http://img707.imageshack.us/img707/863/ultimasoluzione.jpg
Ti ringrazio per l'aiuto che ci hai dato.
In ogni caso, abbiamo antitrasformato per ottenere l'autocorrelazione d'uscita e l'abbiamo inserita nell'autocorrelazione finale della z(n). A questo punto crediamo di averlo risolto correttamente grazie al tuo aiuto.
Allego la soluzione finale che abbiamo ottenuto.
http://img707.imageshack.us/img707/863/ultimasoluzione.jpg
Ti ringrazio per l'aiuto che ci hai dato.
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