Risoluzione equazione
Salve a tutti!
Mi trovo di fronte a questa equazione:
\(\displaystyle p=1-\frac{1}{\binom{n}{k}} \)
Cioè:
\(\displaystyle p=1-\frac{(n-k)!k!}{n!}\)
Da risolvere in k. Dunque, considerando n diverso da 0:
\(\displaystyle k!(n-k)!=(1-p)n! \)
Wolframalpha non mi dà soluzioni http://www.wolframalpha.com/input/?i=k! ... 29n!+for+k
Sto ponendo male il problema? Forse non è possibile trovare una soluzione algebrica?
Mi farebbe piacere sapere come potrei lavorare, e non mi dispiacerebbe una soluzione
Grazie.
Mi trovo di fronte a questa equazione:
\(\displaystyle p=1-\frac{1}{\binom{n}{k}} \)
Cioè:
\(\displaystyle p=1-\frac{(n-k)!k!}{n!}\)
Da risolvere in k. Dunque, considerando n diverso da 0:
\(\displaystyle k!(n-k)!=(1-p)n! \)
Wolframalpha non mi dà soluzioni http://www.wolframalpha.com/input/?i=k! ... 29n!+for+k
Sto ponendo male il problema? Forse non è possibile trovare una soluzione algebrica?
Mi farebbe piacere sapere come potrei lavorare, e non mi dispiacerebbe una soluzione
Grazie.
Risposte
Il problema non sembra essere ben posto, se $p$ rappresenta una probabilità, non per tutti i valori di $p$ esiste una coppia di valori $(n,k)$ che risolve l'uguaglianza... pensa semplicemente se $p$ fosse irrazionale, allora non esisterebbero soluzioni simili.
Da dove viene questo problema?
Da dove viene questo problema?
Ci ho pensato durante la notte, in effetti ho ragionato in modo sbagliato. Ora vi spiego il problema:
Ho \(\displaystyle n \) elementi, ciascuno dei quali preso tra i valori (0..36). Ovvero ciascuno di questi elementi ha 37 possibili valori.
* Innanzitutto voglio la formula che determini la probabilità con cui essi si combinino in una delle possibili configurazioni di \(\displaystyle k \) elementi, detto \(\displaystyle k>0 \). Cioè, dato il numero di configurazoni come gruppi di k elementi, qual è la probabilità che si manifesti uno di quei gruppi tra tutti i possibili? Suppongo che interessi il coefficiente binomiale tra n e k, e la probabilità ad esso correlata, ma a visto che mi trovo qua ne chiedo a voi conferma.
* A questo punto, da questa equazione, mi interessa la soluzione in k. Qui tanto di cappello, perché dovrei semplificare in qualche modo il fattore del binomiale \(\displaystyle (n-k)!k! \) in modo da isolare \(\displaystyle k \).
Questo il mio problema.
PS: ai moderatori, se lo ritengono, chiederei di spostare la questione nella sezione di calcolo statistico:-)
Ho \(\displaystyle n \) elementi, ciascuno dei quali preso tra i valori (0..36). Ovvero ciascuno di questi elementi ha 37 possibili valori.
* Innanzitutto voglio la formula che determini la probabilità con cui essi si combinino in una delle possibili configurazioni di \(\displaystyle k \) elementi, detto \(\displaystyle k>0 \). Cioè, dato il numero di configurazoni come gruppi di k elementi, qual è la probabilità che si manifesti uno di quei gruppi tra tutti i possibili? Suppongo che interessi il coefficiente binomiale tra n e k, e la probabilità ad esso correlata, ma a visto che mi trovo qua ne chiedo a voi conferma.
* A questo punto, da questa equazione, mi interessa la soluzione in k. Qui tanto di cappello, perché dovrei semplificare in qualche modo il fattore del binomiale \(\displaystyle (n-k)!k! \) in modo da isolare \(\displaystyle k \).
Questo il mio problema.
PS: ai moderatori, se lo ritengono, chiederei di spostare la questione nella sezione di calcolo statistico:-)
prima una cosa da chiarire:
$n$ ha $37$ possibili valori perciò:
- se sono tutti distinti $n<=37$
- se si ripetono $n$ è un sottoinsieme, anche molto grande, dei naturali
quale dei due modelli? $n$ elementi distinguibili o indistinguibili?
$n$ ha $37$ possibili valori perciò:
- se sono tutti distinti $n<=37$
- se si ripetono $n$ è un sottoinsieme, anche molto grande, dei naturali
quale dei due modelli? $n$ elementi distinguibili o indistinguibili?
Rendo più chiara l'idea:
ho una funzione f(.) avente codominio {0..36}, che mi genera i diversi valori.
In modo più esplicito, f è un prng (generatore di numeri pseudocasuali) che genera numeri interi uniformemente distribuiti in [0,36].
\(\displaystyle n \) non ha, come tu dici, i valori [0,36], bensì è la dimensione dell'insieme di numeri generati dalla funzione.
In definitiva io creo un insieme, chiamiamolo \(\displaystyle I \), contenente \(\displaystyle n \) numeri. Il valore di ciascuno di questi numeri è compreso tra [0,36] (includendo cioè entrambi gli estremi 0 e 36). In tutto 37 possibili numeri.
Nell'insieme di questi numeri immagino di lavorare su gruppi di k elementi, e faccio le considerazioni a questi sottogruppi di dimensione k.
ho una funzione f(.) avente codominio {0..36}, che mi genera i diversi valori.
In modo più esplicito, f è un prng (generatore di numeri pseudocasuali) che genera numeri interi uniformemente distribuiti in [0,36].
\(\displaystyle n \) non ha, come tu dici, i valori [0,36], bensì è la dimensione dell'insieme di numeri generati dalla funzione.
In definitiva io creo un insieme, chiamiamolo \(\displaystyle I \), contenente \(\displaystyle n \) numeri. Il valore di ciascuno di questi numeri è compreso tra [0,36] (includendo cioè entrambi gli estremi 0 e 36). In tutto 37 possibili numeri.
Nell'insieme di questi numeri immagino di lavorare su gruppi di k elementi, e faccio le considerazioni a questi sottogruppi di dimensione k.
Ho trovato una possibile soluzione: osservo la probabilità che una sottosequenza di k elementi esista unica(non si replichi) nell'insieme I di n elementi. La probabilità per ciascun elemento è \(\displaystyle 1/37 \) da cui:
\(\displaystyle P(sottosequenza unica)=(\frac{1}{37})^k (\frac{36}{37})^{n-k} \)
Ora il problema diventa risolvere quest'equazione in k.
Qualcuno mi viene in aiuto?
Grazie:)
\(\displaystyle P(sottosequenza unica)=(\frac{1}{37})^k (\frac{36}{37})^{n-k} \)
Ora il problema diventa risolvere quest'equazione in k.
Qualcuno mi viene in aiuto?
Grazie:)
ok si ridurrebbe ad estrazioni da un'urna di $37$ elementi con reimmissione
Quello che interessa ha te è calcolarti che una data sequenza tra tutte le combinazioni, lunga $k$ sia estratta è una Bernoulli $\mathcal{B}(1/37)$ (come hai trovato te).
Detto questo: $k<=n$ se non conosci $n$, non puoi dir nulla (se non che $n in NN$ con le ovvie conseguenze).
Quello che interessa ha te è calcolarti che una data sequenza tra tutte le combinazioni, lunga $k$ sia estratta è una Bernoulli $\mathcal{B}(1/37)$ (come hai trovato te).
Detto questo: $k<=n$ se non conosci $n$, non puoi dir nulla (se non che $n in NN$ con le ovvie conseguenze).
Mi conforta che approvi quanto ho detto: fa caldo, e rischiavo di uscirne matto:)
A questo punto, conoscendo sia n che p, come posso ricavarmi k?
Detti, naturalmente: n>k, k>0
\(\displaystyle p=(\frac{1}{37})^k (\frac{36}{37})^{n-k} \)
k(n,p)=?
Grazie!
A questo punto, conoscendo sia n che p, come posso ricavarmi k?
Detti, naturalmente: n>k, k>0
\(\displaystyle p=(\frac{1}{37})^k (\frac{36}{37})^{n-k} \)
k(n,p)=?
Grazie!
"JoKer__":
Mi conforta che approvi quanto ho detto: fa caldo, e rischiavo di uscirne matto:)
A questo punto, conoscendo sia n che p, come posso ricavarmi k?
Detti, naturalmente: n>k, k>0
\(\displaystyle p=(\frac{1}{37})^k (\frac{36}{37})^{n-k} \)
k(n,p)=?
Grazie!
se conosci $n$ puoi solo limitarne i valori di $k$.
Perciò $f(k) = (1/37)^k(36/37)^(n-k)\ | \k=0....n \wedge n \in NN$
sarà una funzione sugli interi positivi. E' abb logico che non ha significato avere un valore di soluzione avendo la probabilità di successo, non ha significato se è ciò che cerchi di calcolare.
Lo risottolineo, la probabilità che hai calcolato è per UNA sequenza in particolare, senza perciò contare le varie permutazioni possibili.
"hamming_burst":
Lo risottolineo, la probabilità che hai calcolato è per UNA sequenza in particolare, senza perciò contare le varie permutazioni possibili.
Ok, è esattamente ciò che voglio.
"hamming_burst":
se conosci \( \displaystyle {n} \) puoi solo limitarne i valori di \( \displaystyle {k} \).
Ok, questo mi piace di meno, ma sento che stiamo arrivando alla soluzione. Ho pensato che potrei risolvere in modo grafico, ovvero: disegno la funzione così come l'hai scritta f(x)=...
A questo punto mi trovo una funzione di distribuzione oppure di densità?
Cavoli, non è davvero possibile trovare un valore per k conoscendo sia p che n? Neanche in modo grafico (intercetta di due curve)?
Hai provato a spiegarmi il perché, ma non mi è davvero chiaro.
Io devo assolutamente stimare il vaolore di \(\displaystyle k \), anche semplificando, se necessario.
"JoKer__":
[quote="hamming_burst"]
Lo risottolineo, la probabilità che hai calcolato è per UNA sequenza in particolare, senza perciò contare le varie permutazioni possibili.
Ok, è esattamente ciò che voglio.[/quote]
ok allora attenziona a descrivere bene ciò che calcoli: probabilità di successo di una prefissata sequenza di $k$ elementi.
(se hai dubbi prova a vedere questo mio vecchio topic dove domandavo il tuo stesso problema).
"hamming_burst":
se conosci \( \displaystyle {n} \) puoi solo limitarne i valori di \( \displaystyle {k} \).
Ok, questo mi piace di meno, ma sento che stiamo arrivando alla soluzione. Ho pensato che potrei risolvere in modo grafico, ovvero: disegno la funzione così come l'hai scritta f(x)=...
A questo punto mi trovo una funzione di distribuzione oppure di densità?
non può essere una densità, per la semplice definizione di Probabilità.
Cavoli, non è davvero possibile trovare un valore per k conoscendo sia p che n? Neanche in modo grafico (intercetta di due curve)?
Hai provato a spiegarmi il perché, ma non mi è davvero chiaro.
Io devo assolutamente stimare il vaolore di \(\displaystyle k \), anche semplificando, se necessario.
certo che si può stimare, ma non sarà un intero positivo. Perciò non avrà nessun significato nel senso dell'evento che calcoli.
Invece puoi farlo ovviamente graficamente o calcolandoti tutti i valori (che è un po' la stessa cosa) tramte la funzione che ti ho descritto. Basta che ti restringi ai valori interi del dominio $k$. avrai $k$ soluzioni (limitate da $n$, ovviamente sarà un numero finito).
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