Regola moltiplicazione gode di prop. commutativa?

[micheletommasone]

Salve ragazzi, mi sorge un dubbio teorico sulla regola della moltiplicazione di due eventi condizionati:
Partendo dal fatto che la regola della proprietà condizionata dice che: P{A2|A1}= P{A1 ∩ A2}/ P{A1} mi ricavo da qui la prop. della moltiplicazione, e quindi: P{A1 ∩ A2} = P{A2|A1} * P{A1}.
A questo punto mettendo il caso che si volesse cambiare l'ordine dei due eventi la medesima proprietà si riscriverebbe come: P{A1 ∩ A2} = P{A1|A2} * P{A2}.
Mi chiedevo per l'appunto se scrivere P{A1 ∩ A2} = P{A1|A2} * P{A2} fosse la stessa cosa di scrivere P{A1 ∩ A2} = P{A2|A1} * P{A1}, o meglio se le due formule producono lo stesso risultato anche se cambia l'ordine di condizione dei due eventi.
Pongo questa domanda perché studiando la dimostrazione della formula di Bayes si parte proprio studiando la proprietà condizionata di un evento P {Hi∣A} data da P{Hi∣A}=P{Hi ∩ A}/ P{A}. A questo punto la teoria suggerisce che la regola della moltiplicazione fornisce: P{Hi∩A}=P{Hi}⋅P{A∣Hi}. Il dubbio che mi sorge è proprio inerente al fatto che da P{Hi∣A}=P{Hi ∩ A}/ P{A} mi ricaverei la regola della moltiplicazione facendo: P{Hi∩A}=P{A}⋅P{Hi∣A} e non come suggerisce la teoria, appunto: P{Hi∩A}=P{Hi}⋅P{A∣Hi}.
Magari è una domanda sciocca ma se non chiarisco questo dubbio chiaramente non posso svolgere gli esercizi in maniera logica.
Un grazie in anticipo a chi riesce a darmi una mano

[retrocomputer]

"mukelone":
Mi chiedevo per l'appunto se scrivere P{A1 ∩ A2} = P{A1|A2} * P{A2} fosse la stessa cosa di scrivere P{A1 ∩ A2} = P{A2|A1} * P{A1}, o meglio se le due formule producono lo stesso risultato anche se cambia l'ordine di condizione dei due eventi.

Non sono la stessa cosa, ma sono entrambe delle uguaglianze.
Per capire che non sono la stessa cosa, considera che la prima è definita per A2 non trascurabile, mentre la seconda lo è per A1 non trascurabile.

[micheletommasone]

bene, era come avevo presunto allora; il mio dubbio a questo punto è il seguente: premettendo che concettualmente ho compreso sia la regola della prob. condizionata che la formula di bayes, non riesco a comprendere, assumendo che volessi tralasciare la teoria sulla formula di bayes, come quest'ultima sia dimostrabile a partire dalla formula della prob. condizionata.

La formula della prob. condizionata dice che: P{A2|A1}= P{A1∩A2} / P{A1} da cui ricaviamo la formula della moltiplicazione e cioè: P{A1∩A2}={A2|A1} * P{A1} e quindi P{A2|A1}= {A2|A1} * P{A1} / P{A1}.
La formula di Bayes invece dice che: P{Hi∣A}= P {Hi }⋅P {A∣Hi } /∑ (sommatoria che va da j=1 ad n)P{Hj}⋅P{A∣Hj}.

Con la formula di bayes vogliamo conoscere quale sia la causa Hi del verificarsi di un eventuale evento A, e quindi P{Hi∣A}. Se però, tralasciando la teoria della formula di bayes, parto dalla formula della prob. condizionata per ricavami la formula di bayes, per quanto detto sopra, non dovrebbe essere scritta come:
P{A∣Hi}= P {Hi }⋅P {A∣Hi } /∑ (sommatoria che va da j=1 ad n)P{Hj}⋅P{A∣Hj}?

Probabilmente mi sono spiegato da cani anche se ho provato a fare meno confusione possibile omettendo un po di giri di parole che magari, se detti a voce potevano risultare più chiari

[retrocomputer]

Secondo me la dimostrazione della formula di Bayes si capisce meglio passando attraverso la formula della disintegrazione:

$P(A)=\sum_{j=1}^n P(A\cap H_j)=\sum_{j=1}^n P(A|H_j)P(H_j)$

dove gli $H_j$ sono un sistema di alternative, cioè una partizione di eventi non trascurabili.

Dalla formula precedente si vede subito che la formula di Bayes è vera moltiplicando entrambe le sue parti per $P(A)$ (che è proprio il denominatore a secondo membro della formula di Bayes):

$P(H_i|A)=\frac{P(A|H_i)P(H_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|H_j)P(H_j)}$

$P(H_i|A)=\frac{P(A|H_i)P(H_i)}{P(A)}$

$P(H_i|A)P(A)=P(A|H_i)P(H_i)$

che è proprio una conseguenza delle due uguaglianze viste all'inizio. OK?

[micheletommasone]

Bene ho risolto ogni dubbio, mi son cercato in rete degli altri appunti sul teorema di bayes, della moltiplicazione e della prob. condizionata e avendo finalmente chiarito che P(A∩B)= P(A) * P(B|A)= P(B) * P(A|B) e che P(A∩B)=P(B∩A) sono riuscito a risolvere il dubbio inerente al perché il numeratore della formula di bayes vada scritto come P(Hi) * P(A|Hi).
Grazie per l'aiuto.