Rapporto di versimiglianza per il test d’ipotesi

[FabioA_97]

Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con la seguente densità di probabilità:


$ f(x|theta)=2theta^2/x^3I_((theta;oo))(x) $

e come stimatore di massima verosimiglianza ho trovato $ \hattheta_(ML)=X_((1)) $

a questo punto mi viene chiesto:
Si trovi la regione critica di livello α ∈ (0, 1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d’ipotesi:
$ H_0: theta=theta_0 $ vs $ H_0: theta!=theta_0 $ , $ theta_0>0 $ .
quando calcolo il rapporto mi ritrovo ad avere al denominatore la likelyhood valutata nello stimatore MLE e a causa dell'indicatrice che esclude gli estremi mi viene 0. come andreste avanti voi?

[Lo_zio_Tom]

"FabioA_97":come andreste avanti voi?

estremi inclusi o esclusi non cambia nulla...se non ti piace $(theta;+oo)$ scrivi pure $[theta;+oo)$; aggiungendo un insieme a misura nulla, nulla può cambiare nell'inferenza del modello. Tra l'altro quella è una distribuzione nota: una Pareto.

Piuttosto, guardando il rapporto di verosimiglianza, noterei che dipende unicamente dallo stimatore sufficiente del modello $T=x_((1))$ e quindi il test si deve necessariamente basare su di esso.


Se il test fosse unilaterale basterebbe verificare (come effettivamente è) che il modello ammette un LR non crescente rispetto allo stimatore sufficiente

Infatti, ponendo $theta'
$LR={{: ( +oo , ;theta'

...e quindi risolveresti applicando Karlin Rubin e trovando un test UMP.

Dato che il test è bilaterale io calcolerei un intervallo di confidenza $[a;b]$ per $theta $ di livello $(1-alpha)$.
Il test sarà definito dalla regola: "si rifiuta $mathcal(H)_0$ se e solo se $theta_0 !in [a;b]$".

Ecco dunque come farei io[nota]è solo un' idea trovata sfogliando alcuni testi di inferenza di base



ma ci sono numerose altre vie per la costruzione di test bilaterali che puoi trovare sui libri[/nota]

Partiamo dalla densità di Pareto in oggetto e calcoliamo tutti gli ingredienti per calcolare l'intervallo di confidenza che, ovviamente, si baserà sempre sullo stimatore sufficiente $T=X_((1))$

$F_X(x)=int_(theta)^(x)f(u)du=1-(theta/x)^2$

$F_T(t)=1-(theta/t)^(2n)$

$f_T(t)=(2n theta^(2n))/t^(2n+1)$

notiamo subito che possiamo fattorizzare la $f_T(t)$ nel seguente modo

$f_T(t)=1/theta(2n theta^(2n+1))/t^(2n+1)=1/theta psi(theta/t)$

riconoscendo in tal modo una Famiglia di Scala; ciò implica che la variabile $Y=theta/T$ (funzione di $theta$) abbia una distribuzione indipendente da $theta$

Viene quindi naturale usare la variabile $Y$ per calcolare un intervallo di confidenza per $theta$

Immediatamente si trova la distribuzione

$f_Y(y)=2ny^(2n-1)mathbb{1}_((0;1))(y)$

Graficamente (cliccare sull'immagine per ingrandirla):



Osservando il grafico si vede subito che l'intervallo di confidenza ottimale ha la forma $c<=y<=1$

ovvero:

$int_c^1 2ny^(2n-1)dy=1-alpha rarr c=alpha^(1/(2n))$

e quindi, sostituendo all'indietro, l'intervallo per $theta$ viene

$alpha^(1/(2n))<=theta/x_((1))<=1$

In definitiva, si Rifiuta $mathcal(H)_0$ se e solo se

$theta_0 !in [root(2n)(alpha)*x_((1));x_((1)) ]$

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