Quiz valore atteso

[gretch1767]

Ciao a tutti, vi propongo questo veloce quesito che mi da dei grattacapi in quanto non riesco a capire come si possa stabilire la media; allora:
Consideriamo un gioco con due monete: una è equilibrata, mentre l 'altra restituisce testa con p = 2/3. Elisa ha la moneta equilibrata mentre Giorgia quella truccata. Lanciano nello stesso momento le due monete e se ottengono lo stesso esito ( entrambe testa o entrambe croce) termina il gioco; altrimenti lanciano di nuovo fino ad ottenere lo stesso risultato. Se consideriamo X = numero tot. di lanci effettuati da Giorgia, quanto vale E(X)?

a. 2
b. 3/2
c. 3
d. nessuno dei precedenti.

Grazie a chi risponderà.

[marco.ve1]

In caso ti bloccassi...

La probabilità che ottengano lo stesso risultato in un lancio è 1/2, quindi detta p la densità di X notando che i lanci sono indipendenti si ha: p(n) = 1/2^n per ogni n>=1 naturale, infatti p(n) equivale alla probabilità che ottengano risultati distinti nei primi n-1 lanci e lo stesso risultato all'n-esimo lancio.
Perciò [tex]E(X) = \Sigma_{n\ge1}n/2^n = 2[/tex]

[gretch1767]

facendo i calcoli a me veniva che la probabilità che le due ottenessero lo stesso risultato era delo 0.44055 circa. Come mai a te risulta 1/2? Io calcolato la probabilità di ottenere di ottenere A = 2 teste, che è dello 0,33 dato che gli eventi sono indipendenti; la probabilità di ottenere B = 2 croci, che è dello 0,165 e utilizzando la formula di unione degli eventi risultava: 0,33+0,165-(0,33*0,165) = 0,44055. Dov'è che sbaglio?
Grazie per aver risposto

[marco.ve1]

Siano E := ''elisa ottiene testa" e G := "giorgia ottiene testa".
Si ha [tex]P(E\cap G)=P(E)\cdot P(G)=1/2 \cdot 2/3 = 1/3[/tex], similmente [tex]P(E^c \cap G^c)=1/6[/tex], come dici te.
Poichè [tex](E \cap G) \cap (E^c \cap G^c) = \emptyset[/tex] si ha [tex]P((E \cap G) \cup (E^c \cap G^c)) = P(E \cap G) + P(E^c \cap G^c) = 1/2[/tex], se non ho fatto errori