Quesito teorico

[cristinapa]

Come si risolve questo quesito?

Siano $ X_1 $ ~N (2,9); $ X_2 $~N (3,16); $ X_3 $ ~ N (4,25); $ X_4 $ ~N (5,36); $ X_5 $ ~N (2,4); $ X_6 $ ~N (4,9); $ X_7 $ ~N (5,25) e siano inoltre:
$ Y=(( X_1 -2)/3)^2+((X_2 -3)/4)^2+((X_3 -4)/5)^2 +((X_4 -5)/6)^2 $ ;
$ Z=((X_5 -2)/2)^2 + ((X_6 -4)/3)^2 + ((X_7 -5)/5)^2 $ ;
si dimostri il valore atteso della seguente variabile: $ S=((Y/4)/(Z/3)) $ e si calcoli la probabilità che S assuma valore maggiore o uguale a 9,12.

[Lo_zio_Tom]

ti ho anche fatto la dimostrazione.....come si distribuisce il quadrato di una Gaussiana Standard?

[cristinapa]

Ma non riesco a capire perché qui sono varie somme

[Lo_zio_Tom]

se hai capito che il quadrato di una normale standard si distribuisce come una chi-quadro con un grado di libertà ...ora il testo ti chiede la variabile

$Y=sum_(i=1)^(4)Z_(i)$

per vedere che distribuzione ha $Y$ conviene utilizzare la funzione generatrice dei momenti che, con semplici calcoli, porta a definire la distribuzione di $Y$ come una $chi_((4))^2$

stesso discorso per

$Z=sum_(i=1)^(3)Z_(i)$

è una $chi_((3))^2$

ora la domanda è: che distribuzione ha la variabile $S=(Y/4)/(Z/3)$?

E' noto che il rapporto fra due chi-quadro indipendenti entrambe divise per i propri gradi di libertà si distribuisce come una F di Fischer. In questo caso $S~ F_(m;n)=F_(4;3)$

[cristinapa]

Io ho capito che sono quadrati di una normale standard e che si distribuiscono secondo una $/chi ^2 $ con un grado di libertà ma come deve risolvere. Praticamente non so che fare

Comunque studio economia quindi con la statistica ho poco da condividere

[cristinapa]

Come determino il valore atteso di S?

[Lo_zio_Tom]

"cricricricri":Come determino il valore atteso di S?

così:

$S=3/4Y/V$

$E(S)=3/4E(Y)E(1/V)=3/4\cdot4E(1/V)$, essendo $Y$ una chi-quadro con4 gradi di libertà.

$E(1/V)=1/(Gamma(3/2))(1/2)^(3/2)int_(0)^(oo)1/v (v^(1/2))e^(-v/2)dv$

$E(1/V)=1/(Gamma(3/2))(1/2)^(3/2)int_(0)^(oo) v^(-1/2)e^(-v/2)dv$

sostituiamo $v/2=t$

$E(1/V)=1/(Gamma(3/2))(1/2)^(3/2)int_(0)^(oo)e^(-t)(2t)^(-1/2)2dt$

$E(1/V)=1/(Gamma(3/2))(1/2)^(3/2)(1/2)^(-1/2)int_(0)^(oo)e^(-t)t^(-1/2)dt$

$E(1/V)=(Gamma(1/2))/(2Gamma(3/2))=1/2sqrt(pi)/(sqrt(pi)/2)=1$

in definitiva:

$E(S)=3/4\cdot4\cdot1=3$

facile dai