Quesito su gaussiana

[Ulyx3s]

Vorrei proporvi un quesito.
Sia X variabile aleatoria con distribuzione gaussiana normalizzata (0,1).
Si calcoli

E[|X|]

, ovvero il valore atteso della variabile modulo di X.

Dunque.
premesso che non mi pare possibile trovare una densità per

Y=|X|

io non riuscivo a scrivere il valore atteso di Y come integrale rispetto una densità.
Detto ciò l unica intuzione che ho avuto è stata questa:
Sia $ A sub RR+$.
Allora $P(|X| in A)=2 * P(X in A)$ in quanto è valido sia nel caso negativo che positivo.
però anche da qui non sapevo come utilizzarla per il calcolo del valore atteso...
idee?

[DajeForte]

Ti rispondo di fretta che sto uscendo.
La densità si trova infatti:

se $y>0$

$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)= "per simmetria della normale" = 2 int_0^y 1/sqrt(2 pi) e^{-(x^2)/2} dx$

Derivando rispetto a $y$ la funzione di ripartizione ottieni la densità che è:

$2/sqrt(2 pi) e^{-(y^2)/2}$ per $y>0$ (ed ovviamoente è nulla per $y<0$)

Quindi $E[Y]=E[|X|]= 2 int_0^{infty} y/sqrt(2 pi) e^{-y^2/2} dy$.

[Ulyx3s]

oddio, già.
era la cosa più semplice di questo mondo,
addirittura la densità era semplicemente il doppio... proprio come supposto a intuito...
grazie mille.