Quesito su esercizio di combinatoria
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio
Un'urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Le palline numerate da 1 a 5 sono verdi e quelle numerate da 6 a 10 sono gialle. Si estraggono senza rimpiazzo 3 palline a caso dall'urna. Reintrodotte nell'urna si ripete l'estrazione (in modo indipendente). Determinare la probabilità dei seguenti eventi:
a) tra le palline estratte alla prima estrazione e le palline estratte alla seconda estrazione vi è esattamente una pallina in comune
b) la probabilità che alla seconda estrazione siano uscite esattamente 2 palline verdi sapendo che le palline estratte alla prima estrazione sono tutte gialle e che non vi sono palline in comune tra la prima e la seconda estrazione.
Non riesco a capacitarmi di come si arriva ai risultati finali, che sono
a)$3* (((7),(2))) / (((10),(3))) $
b)$(((5),(3))*2*((5),(2))) / (((5),(3))((7),(3))) $
nel punto a) il denominatore è chiaro, ma non lo è il numeratore: perché scelgo due elementi tra 7 e 1 tra 3?
nel punto b) non capisco nemmeno da dove esca fuori il denominatore, mentre scegliere 3 tra 5 significa che ho estratto 3 palline gialle e 2 tra 5 sono invece i modi di scegliere due palline verdi tra le 5 nell'urna.
chi può aiutarmi??
Grazie mille
Un'urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Le palline numerate da 1 a 5 sono verdi e quelle numerate da 6 a 10 sono gialle. Si estraggono senza rimpiazzo 3 palline a caso dall'urna. Reintrodotte nell'urna si ripete l'estrazione (in modo indipendente). Determinare la probabilità dei seguenti eventi:
a) tra le palline estratte alla prima estrazione e le palline estratte alla seconda estrazione vi è esattamente una pallina in comune
b) la probabilità che alla seconda estrazione siano uscite esattamente 2 palline verdi sapendo che le palline estratte alla prima estrazione sono tutte gialle e che non vi sono palline in comune tra la prima e la seconda estrazione.
Non riesco a capacitarmi di come si arriva ai risultati finali, che sono
a)$3* (((7),(2))) / (((10),(3))) $
b)$(((5),(3))*2*((5),(2))) / (((5),(3))((7),(3))) $
nel punto a) il denominatore è chiaro, ma non lo è il numeratore: perché scelgo due elementi tra 7 e 1 tra 3?
nel punto b) non capisco nemmeno da dove esca fuori il denominatore, mentre scegliere 3 tra 5 significa che ho estratto 3 palline gialle e 2 tra 5 sono invece i modi di scegliere due palline verdi tra le 5 nell'urna.
chi può aiutarmi??
Grazie mille
Risposte
a) Supponi che alla prima estrazione siano uscite le palline verde n° 2 , verde n° 5 , gialla n°8.
Per avere esattamente una pallina in comune, nella seconda estrazione deve uscire o la pallina verde n° 2 ,o la verde n° 5 , o la rossa n°8, e poi due palline delle sette che non sono uscite alla prima estrazione. I casi favorevoli sono dunque $3*((7),(2))$.
b) Nella seconda estrazione devono uscire due palline verdi, e questo può essere fatto in $((5),(2))$ modi e una pallina gialla, e questo si può fare in 2 modi, tenendo conto che tre delle cinque palline gialle sono uscite nella prima estrazione e che non devono essere ripescate. I casi favorevoli sono dunque $((5),(2))*2$.
$p=(((5),(2))*2)/(((10),(3)))$, che è proprio la probabilità richiesta ( $((10),(3))=((7),(3))$ ).
Per avere esattamente una pallina in comune, nella seconda estrazione deve uscire o la pallina verde n° 2 ,o la verde n° 5 , o la rossa n°8, e poi due palline delle sette che non sono uscite alla prima estrazione. I casi favorevoli sono dunque $3*((7),(2))$.
b) Nella seconda estrazione devono uscire due palline verdi, e questo può essere fatto in $((5),(2))$ modi e una pallina gialla, e questo si può fare in 2 modi, tenendo conto che tre delle cinque palline gialle sono uscite nella prima estrazione e che non devono essere ripescate. I casi favorevoli sono dunque $((5),(2))*2$.
$p=(((5),(2))*2)/(((10),(3)))$, che è proprio la probabilità richiesta ( $((10),(3))=((7),(3))$ ).
Uhm scusa non capisco come fa ad essere $((10),(3))=((7),(3))$
nessuno sa rispondermi?
Scusa se non ti ho risposto prima, ma proprio non me ne ero accorto...
Ho scritto chiaramente una cavolata.
Tra l'altro non ho letto bene l'esercizio. Infatti nell'esercizio si presuppone di sapere che alla prima estrazione le palline estratte sono tutte gialle e che non vi sono palline in comune tra la prima e la seconda estrazione.
I casi favorevoli continuano ad essere $((5),(2))*2$, però i casi possibili sono $((7),(3))$ dato che è noto che le tre palline estratte alla prima estrazione non sono state ripescate nella seconda.
La probabilità è quindi
$p=(((5),(2))*2)/(((7),(3)))$.
Ho scritto chiaramente una cavolata.
Tra l'altro non ho letto bene l'esercizio. Infatti nell'esercizio si presuppone di sapere che alla prima estrazione le palline estratte sono tutte gialle e che non vi sono palline in comune tra la prima e la seconda estrazione.
I casi favorevoli continuano ad essere $((5),(2))*2$, però i casi possibili sono $((7),(3))$ dato che è noto che le tre palline estratte alla prima estrazione non sono state ripescate nella seconda.
La probabilità è quindi
$p=(((5),(2))*2)/(((7),(3)))$.
Ok ora è tutto chiaro, grazie ancora! ^^
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