Quesito di probabilità.
Ciao, a tutti, sono nuovo in questo Forum, Volevo proporvi un quesito di cui non riesco ad arrivare fino in fondo alla soluzione.
Il quesito è questo :
Supponiamo di accendere un falò con 9 grossi ceppi di legna da ardere. A seconda del vento, passata un'ora, può essere che non si sia consumato alcun ceppo, che se ne sia consumato 1 e che se ne siano consumati 2. Tutti e tre questi possibili eventi hanno uguale probabilità al termine di ogni data ora che passa. (Ad ogni ora INTERA che passa c'è probabilità 1/3 che si siano consumati rispettivamente 0,1,2 ceppi di legna)
Supponiamo che il fuoco venga acceso alle 0:00. Qual è la probabilità che sia spento alle 9:00?
Io ho ragionato cosi :
ho calcolato i casi totali : $3^9$
e ho cercato di trovare i casi favorevoli.
Il falò potra essere spento dopo 9 ore se e solo se l'evento che non si spenga nessun ceppo di legno è minore o uguale a quattro.
Dunque ho fatto 5 casi :
Un primo caso in cui ad ogni ora si spegne almeno 1 ceppo
Un secondo caso in cui in un'ora non si spegne nessun ceppo mentre nelle altre 8 almeno 1
Un terzo caso in cui in 2 ore non si spengono 2 ceppi
Un quarto caso in cui non si spengono 3 ceppi
Un quinto caso in cui non si spengono 4 ceppi.
Nel primo caso gli eventi favorevoli sono : $2^9$
Nel secondo caso un'ora non si spegne nessun ceppo, dunque nelle altre si, dunque ci deve essere almeno un'ora in cui si spengono 2 ceppi, dunque nelle altre sette ore i ceppi potranno essere 1 0 2 a caso, dunque $2^7$ casi.
Nel terzo caso non si spengono 2 ceppi, 2 devono essere per forza da 2 ceppi e gli altri 5 possono essere 1 0 2 a caso, dunque 2^5
Faccio la stessa operazione per gli altri casi e ottengo che i casi favorevoli sono :
$2^9+2^7+2^5+2^3+2 = 682$
e la probabilità risulta essere : $682/3^9$
Non so perché ma penso sia sbagliato, come lo risolvereste?
Il quesito è questo :
Supponiamo di accendere un falò con 9 grossi ceppi di legna da ardere. A seconda del vento, passata un'ora, può essere che non si sia consumato alcun ceppo, che se ne sia consumato 1 e che se ne siano consumati 2. Tutti e tre questi possibili eventi hanno uguale probabilità al termine di ogni data ora che passa. (Ad ogni ora INTERA che passa c'è probabilità 1/3 che si siano consumati rispettivamente 0,1,2 ceppi di legna)
Supponiamo che il fuoco venga acceso alle 0:00. Qual è la probabilità che sia spento alle 9:00?
Io ho ragionato cosi :
ho calcolato i casi totali : $3^9$
e ho cercato di trovare i casi favorevoli.
Il falò potra essere spento dopo 9 ore se e solo se l'evento che non si spenga nessun ceppo di legno è minore o uguale a quattro.
Dunque ho fatto 5 casi :
Un primo caso in cui ad ogni ora si spegne almeno 1 ceppo
Un secondo caso in cui in un'ora non si spegne nessun ceppo mentre nelle altre 8 almeno 1
Un terzo caso in cui in 2 ore non si spengono 2 ceppi
Un quarto caso in cui non si spengono 3 ceppi
Un quinto caso in cui non si spengono 4 ceppi.
Nel primo caso gli eventi favorevoli sono : $2^9$
Nel secondo caso un'ora non si spegne nessun ceppo, dunque nelle altre si, dunque ci deve essere almeno un'ora in cui si spengono 2 ceppi, dunque nelle altre sette ore i ceppi potranno essere 1 0 2 a caso, dunque $2^7$ casi.
Nel terzo caso non si spengono 2 ceppi, 2 devono essere per forza da 2 ceppi e gli altri 5 possono essere 1 0 2 a caso, dunque 2^5
Faccio la stessa operazione per gli altri casi e ottengo che i casi favorevoli sono :
$2^9+2^7+2^5+2^3+2 = 682$
e la probabilità risulta essere : $682/3^9$
Non so perché ma penso sia sbagliato, come lo risolvereste?
Risposte
EEEI, c'è nessuno??
Ciao, c'è una cosa al livello concettuale che non capisco: mettiamo caso che dopo 4 ore si siano spenti 8 ceppi, quindi due ogni volta. Alla quinta ora, c'è un solo ceppo: non si spegne con probabilita 1/3, si spegne con probabilità 1/3, e l'altro terzo dove va visto che non ci sono più due ceppi?
E' da intendere che, se ci sono almeno 2 ceppi accesi, le probabilità sono 1/3 (nessuno si spegne), 1/3 (uno si spegne), 1/3 (due si spengono), mentre invece se ce ne è solo uno le probablità diventano 1/3 (non si spegne), 2/3 (si spegne)?
Edit: comunque il se nell'affermazione
è falso, perché se ad esempio l'evento non si spegne nessun ceppo è uguale a 4, e l'evento si spegne un ceppo è uguale a 5 e l'evento si spengono due ceppi è uguale a 0, il falò non è ovviamente spento dopo 9 ore.
E' da intendere che, se ci sono almeno 2 ceppi accesi, le probabilità sono 1/3 (nessuno si spegne), 1/3 (uno si spegne), 1/3 (due si spengono), mentre invece se ce ne è solo uno le probablità diventano 1/3 (non si spegne), 2/3 (si spegne)?
Edit: comunque il se nell'affermazione
Il falò potra essere spento dopo 9 ore se e solo se l'evento che non si spenga nessun ceppo di legno è minore o uguale a quattro.
è falso, perché se ad esempio l'evento non si spegne nessun ceppo è uguale a 4, e l'evento si spegne un ceppo è uguale a 5 e l'evento si spengono due ceppi è uguale a 0, il falò non è ovviamente spento dopo 9 ore.
Se rimane un solo ceppo, rimangono 2 sole probabilità: 1/2 che si consuma ed 1/2 che non si consuma.
Devo dire che nel testo c'è una certa confusione tra "si spegne" e "si consuma".
Comunque devo dire che il calcolo è alquanto complicato.
Da quel che ho capito "che sia spento alle 09.00", si intende che si spenga ESATTAMENTE alle 09.00, altrimenti è tutta un'altra storia.
Dunque perchè si spenga alle 09.00, vuol dire che fino alle 08.00 sono bruciati 7 od 8 ceppi.
Sette ceppi nelle prime 8 ore possono essere bruciati in questa maniera (suddivisi per ora):
0-1-1-1-1-1-1-1 = $(1/3)^8*(8!)/(7!)$
0-0-1-1-1-1-1-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(5!)*(2!)]$
0-0-0-1-1-1-2-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(3!)*(3!)*(2!)]$
0-0-0-0-1-2-2-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(4!)*(3!)]$
Sommi queste 4 probabilità parziali e moltiplichi il risultato per $1/3$ (che è la probabilità che nella nona ora brucino i due ceppi residui) e trovi la probabilità totale che il fuoco si spenga esattamente alle 09.00, nel caso in cui nelle prime 8 ore siano bruciati esattamente sette ceppi, e nella nona ora i due ceppi residui.
Fatto ciò, puoi procedere analogamente per trovare la probabilità che il fuoco si spenga esattamente alle 09.00 nel caso in cui nelle prime 8 ore siano bruciati esattamente otto ceppi, e nella nona ora l'ultimo ceppo superstite.
Però ti avverto, il calcolo è un po' più complicato.
Ma d'altra parte, non posso mica fare tutto io......
Devo dire che nel testo c'è una certa confusione tra "si spegne" e "si consuma".
Comunque devo dire che il calcolo è alquanto complicato.
Da quel che ho capito "che sia spento alle 09.00", si intende che si spenga ESATTAMENTE alle 09.00, altrimenti è tutta un'altra storia.
Dunque perchè si spenga alle 09.00, vuol dire che fino alle 08.00 sono bruciati 7 od 8 ceppi.
Sette ceppi nelle prime 8 ore possono essere bruciati in questa maniera (suddivisi per ora):
0-1-1-1-1-1-1-1 = $(1/3)^8*(8!)/(7!)$
0-0-1-1-1-1-1-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(5!)*(2!)]$
0-0-0-1-1-1-2-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(3!)*(3!)*(2!)]$
0-0-0-0-1-2-2-2 = $(1/3)^8*(8!)/[(4!)*(3!)]$
Sommi queste 4 probabilità parziali e moltiplichi il risultato per $1/3$ (che è la probabilità che nella nona ora brucino i due ceppi residui) e trovi la probabilità totale che il fuoco si spenga esattamente alle 09.00, nel caso in cui nelle prime 8 ore siano bruciati esattamente sette ceppi, e nella nona ora i due ceppi residui.
Fatto ciò, puoi procedere analogamente per trovare la probabilità che il fuoco si spenga esattamente alle 09.00 nel caso in cui nelle prime 8 ore siano bruciati esattamente otto ceppi, e nella nona ora l'ultimo ceppo superstite.
Però ti avverto, il calcolo è un po' più complicato.
Ma d'altra parte, non posso mica fare tutto io......
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo