Qualcosa non torna
Salve
Come dal titolo, ho un esercizio che non mi convince troppo
In un gioco passa il turno chi supera un certo livello.Vi sono due giocatori A e B in competizioni tra di loro.Ad ogni partita,indipendentemente dalle altre, A ha $70%$ di passare il livello mentre B ha il $80%$ di superarlo.Ognuno di loro riprova finche non supera il livello. Ci si ferma quando uno dei due lo supera
- Se $T$ indica il numero di partite necessarie affinchè uno dei due giocatori passi il turno,qual'è la sua distribuzione?
-Si gioca un torneo tra 40 coppie di giocatori($A_1,B_1)..(A_40,B_40)$ tutte indipendenti e che si comportano nella stessa maniera dei giocatori A e B e siano $T_1..T_40$ il numero di partite giocate dalle rispettive coppie per avere il giocatore che passa il turno.Fare una stima della probabilità che il numero totale di partite giocate per avere i 40 componenti del turno successivo sia inferiore a $100$
Incominciamo
qui sto parlando di tempo di primo successo tra due giocatori che si comportano in maniera indipendente,quindi posso affermare che $T~(min(T_A,T_B))=Geo(94/100)$
Per l'altra richiesta posso utilizzare il teorema del limite centrale indicando con $W=T_1+...T_40$ e
indicando $E(W)=40E(T)=40*100/94=42.55$ e $VAR(W)=40VAR(T)=2.71$
quindi $P(W<100)=Phi((100-42.55)/1.65)=Phi(34.81)$ e questo valore cosi alto io non ricordo di averlo mai trovato...
grazie a tutti
Come dal titolo, ho un esercizio che non mi convince troppo
In un gioco passa il turno chi supera un certo livello.Vi sono due giocatori A e B in competizioni tra di loro.Ad ogni partita,indipendentemente dalle altre, A ha $70%$ di passare il livello mentre B ha il $80%$ di superarlo.Ognuno di loro riprova finche non supera il livello. Ci si ferma quando uno dei due lo supera
- Se $T$ indica il numero di partite necessarie affinchè uno dei due giocatori passi il turno,qual'è la sua distribuzione?
-Si gioca un torneo tra 40 coppie di giocatori($A_1,B_1)..(A_40,B_40)$ tutte indipendenti e che si comportano nella stessa maniera dei giocatori A e B e siano $T_1..T_40$ il numero di partite giocate dalle rispettive coppie per avere il giocatore che passa il turno.Fare una stima della probabilità che il numero totale di partite giocate per avere i 40 componenti del turno successivo sia inferiore a $100$
Incominciamo
qui sto parlando di tempo di primo successo tra due giocatori che si comportano in maniera indipendente,quindi posso affermare che $T~(min(T_A,T_B))=Geo(94/100)$
Per l'altra richiesta posso utilizzare il teorema del limite centrale indicando con $W=T_1+...T_40$ e
indicando $E(W)=40E(T)=40*100/94=42.55$ e $VAR(W)=40VAR(T)=2.71$
quindi $P(W<100)=Phi((100-42.55)/1.65)=Phi(34.81)$ e questo valore cosi alto io non ricordo di averlo mai trovato...
grazie a tutti
Risposte
Cioè la tua stima è 1?
Infatti ho scritto che qualcosa non mi torna per questo motivo. Sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa
Forse ho sbagliato la distribuzione?
"shadow88":
$T~(min(T_A,T_B))=Geo(94/100)$
Non sono affatto convinto di ciò che hai scritto.
In primo luogo, è esattamente dopo T lanci...non c'è minimo.
E parafrasando il problema (forse il testo è dovuto ad una cattiva traduzione ma dice comunque "In un gioco passa il turno chi supera un certo livello"), possiamo pensare che ognuno dei giocatori lanci una moneta truccata con prob., rispettivamente, $p_A$ e $p_B$ di fare testa.
Quindi in questo gioco vince chi per primo fa testa (passa di livello)...ma, in caso di parità, si continua fino al livello (=testa) successivo fintanto che non viene raggiunto da uno solo dei 2 giocatori.
Facendo due conti abbiamo che la prob. che, ad ogni lancio, vinca solo uno dei due giocatori è pari a $19/50$ pertanto è una Geo(38/100)
"Bokonon":
E parafrasando il problema (forse il testo è dovuto ad una cattiva traduzione
Se il testo è stato tradotto, sì, vogliamo vedere l'originale.
"Bokonon":
[quote="shadow88"]$T~(min(T_A,T_B))=Geo(94/100)$
Non sono affatto convinto di ciò che hai scritto.
In primo luogo, è esattamente dopo T lanci...non c'è minimo.
E parafrasando il problema (forse il testo è dovuto ad una cattiva traduzione ma dice comunque "In un gioco passa il turno chi supera un certo livello"), possiamo pensare che ognuno dei giocatori lanci una moneta truccata con prob., rispettivamente, $p_A$ e $p_B$ di fare testa.
Quindi in questo gioco vince chi per primo fa testa (passa di livello)...ma, in caso di parità, si continua fino al livello (=testa) successivo fintanto che non viene raggiunto da uno solo dei 2 giocatori.
Facendo due conti abbiamo che la prob. che, ad ogni lancio, vinca solo uno dei due giocatori è pari a $19/50$ pertanto è una Geo(38/100)[/quote]
Ti ringrazio.Ovviamente ho delle domande. Come mai questa non può essere considerata minimo? Sono stato abituato, sicuramente male mi sembra di aver capito, che se ho per esempio due "tempi di primo successo" affinchè uno dei due non ottenga quello che vuole viene tradotto con il minimo(basta pensare lancio un dado e un tetraedo affinche non esca 4 su uno dei due). Io l ho interpretato cosi.
Comunque sia non riesco nemmeno a capire come fai ad arrivare a quella geometrica li
potresti gentilmente mostrarmi come ci sei arrivato? Ti ringrazio molto
"ghira":
[quote="Bokonon"]
E parafrasando il problema (forse il testo è dovuto ad una cattiva traduzione
Se il testo è stato tradotto, sì, vogliamo vedere l'originale.[/quote]
Questo è quello che ho
"shadow88":
In un gioco passa il turno chi supera un certo livello.Vi sono due giocatori A e B in competizioni tra di loro.Ad ogni partita,indipendentemente dalle altre, A ha $70%$ di passare il livello mentre B ha il $80%$ di superarlo.Ognuno di loro riprova finche non supera il livello. Ci si ferma quando uno dei due lo supera
Fare una stima della probabilità che il numero totale di partite giocate per avere i 40 componenti del turno successivo sia inferiore a $100$
"un certo livello"? "competizioni"? Magari "Ci si ferma quando esattamente uno dei due lo supera"?
Il pezzo su " avere i 40 componenti del turno successivo" magari vuol dire, come dice Bokonon, che uno in ogni coppia deve essere eliminato. Ma "Ognuno di loro riprova finche non supera il livello." non è vero, allora. Se al primo tenativo uno "supera il livello" e l'altro no, l'altro non riprova.
L'interpretazione di Bokonon sembra possibile.
Mi piacerebbe capire come fa a venire quella probabilità 
"shadow88":
Mi piacerebbe capire come fa a venire quella probabilità
Ma, su. La probabilità che vinca esattamente un giocatore è... ?
Dalla formula della probabilità totali.
$P(WIN)= 70/100*1/2+80/100*1/2$ ma non mi torna
$P(WIN)= 70/100*1/2+80/100*1/2$ ma non mi torna
La logica che ho seguito è questa.
I due processi sono indipendenti ma vanno accorpati in qualche modo perchè è una competizione.
Mi sono posto la domanda:"che succede se entrambi passano di livello al medesimo turno?"
Ci deve essere una regola per stabilire un vincitore e una regola globale del gioco.
Ora, potremmo anche complicare le cose stabilendo che vince chi passa per primo di livello n volte, ma questo non risponde alla domanda precedente perchè è sempre possibile che passino entrambi n volte di livello al medesimo turno. Quindi ho scelto la versione semplificata Vince chi passa di livello in solitaria per primo
Ergo abbiamo $p=P(Annbar(B))+P(bar(A)nnB)$ è la prob. che uno dei due vinca in un qualsiasi turno.
Mentre $q=1-p=P(bar(A)nnbar(B))+P(AnnB)$
$P(Annbar(B))+P(bar(A)nnB)+P(bar(A)nnbar(B))+P(AnnB)=1$
$P(AnnB)=P(A)*P(B)=7/10*4/5=28/50$ significa che se entrambi passano di livello nel medesimo turno, allora si continua.
Ora dovresti saper ricavare $p$ che resta identica ad ogni turno. Pertanto il processo del gioco è identico per ogni coppia $(A_i,B_i)$ ed è descritto da $pq^(T_i-1)$ ovvero una Geo(p)
I due processi sono indipendenti ma vanno accorpati in qualche modo perchè è una competizione.
Mi sono posto la domanda:"che succede se entrambi passano di livello al medesimo turno?"
Ci deve essere una regola per stabilire un vincitore e una regola globale del gioco.
Ora, potremmo anche complicare le cose stabilendo che vince chi passa per primo di livello n volte, ma questo non risponde alla domanda precedente perchè è sempre possibile che passino entrambi n volte di livello al medesimo turno. Quindi ho scelto la versione semplificata Vince chi passa di livello in solitaria per primo
Ergo abbiamo $p=P(Annbar(B))+P(bar(A)nnB)$ è la prob. che uno dei due vinca in un qualsiasi turno.
Mentre $q=1-p=P(bar(A)nnbar(B))+P(AnnB)$
$P(Annbar(B))+P(bar(A)nnB)+P(bar(A)nnbar(B))+P(AnnB)=1$
$P(AnnB)=P(A)*P(B)=7/10*4/5=28/50$ significa che se entrambi passano di livello nel medesimo turno, allora si continua.
Ora dovresti saper ricavare $p$ che resta identica ad ogni turno. Pertanto il processo del gioco è identico per ogni coppia $(A_i,B_i)$ ed è descritto da $pq^(T_i-1)$ ovvero una Geo(p)
Ok ora sicuramente è tutto più chiaro. Thanks
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo