Proprieta' probabilita' condizionata
Sia B un evento fissato, con P(B)>0.
Allora P(~|B) e' l'unica probabilita' Q su $Omega$ con le seguenti proprieta':
1) Q(B)=1;
2) per ogni coppia di eventi E,F con P(F)>0 si ha $(Q(E))/(Q(F))=(P(E))/(P(F))$.
Volevo dimostrarlo...
Per quanto riguarda il punto 1) dovrebbe bastare notare che $Q(B)=P(B|B)=1$.
Per quanto riguarda il punto 2) ho pensato che $(Q(E))/(Q(F))=(P(E|B))/(P(F|B))=((P(EnnB))/(P(B)))/((P(FnnB))/(P(B)))=(P(EnnB))/(P(FnnB))$.
Ma questo non e' uguale a $(P(E))/(P(F))$...dove sbaglio?
Allora P(~|B) e' l'unica probabilita' Q su $Omega$ con le seguenti proprieta':
1) Q(B)=1;
2) per ogni coppia di eventi E,F con P(F)>0 si ha $(Q(E))/(Q(F))=(P(E))/(P(F))$.
Volevo dimostrarlo...
Per quanto riguarda il punto 1) dovrebbe bastare notare che $Q(B)=P(B|B)=1$.
Per quanto riguarda il punto 2) ho pensato che $(Q(E))/(Q(F))=(P(E|B))/(P(F|B))=((P(EnnB))/(P(B)))/((P(FnnB))/(P(B)))=(P(EnnB))/(P(FnnB))$.
Ma questo non e' uguale a $(P(E))/(P(F))$...dove sbaglio?
Risposte
non so, ma quello che tu hai scritto vale per una "qualsiasi" probabilità condizionata.
il testo perla dell'"unica" probabilità che gode delle due proprietà, quindi sembrerebbe una probabilità particolare che ha già definito in precedenza ...
da quello che dovrebbe derivarne sembrebbe che gli eventi sono tutti indipendenti ...
inoltre l'esercizio richiede non solo di verificare le due proprietà, ma anche di dimostrare che esse non sono verificate entrambe per ciascun'altra probabilità.
se il fattore "discriminante" è l'indipendenza, allora ti rimarrebbe da dimostrare che vale $(P(EnnB))/(P(FnnB))=(P(E))/(P(F)) <=> "E ed F indipendenti"$.
ma non sono affatto sicura di quello che richiede l'esercizio. cerca di vedere come viene definita, precedentemente, P(~|B). ciao.
il testo perla dell'"unica" probabilità che gode delle due proprietà, quindi sembrerebbe una probabilità particolare che ha già definito in precedenza ...
da quello che dovrebbe derivarne sembrebbe che gli eventi sono tutti indipendenti ...
inoltre l'esercizio richiede non solo di verificare le due proprietà, ma anche di dimostrare che esse non sono verificate entrambe per ciascun'altra probabilità.
se il fattore "discriminante" è l'indipendenza, allora ti rimarrebbe da dimostrare che vale $(P(EnnB))/(P(FnnB))=(P(E))/(P(F)) <=> "E ed F indipendenti"$.
ma non sono affatto sicura di quello che richiede l'esercizio. cerca di vedere come viene definita, precedentemente, P(~|B). ciao.
$P(A|B):=(P(AnnB))/(P(B))$ ma questa cosa viene ben prima del capitolo sull'indipendenza...
Forse devi supporre $E,F \subseteq B$?
Beh io so che $Q(B)=1$ ovvero che $P(B|B)=1$ ma non so se $E,F$ sono sottoinsiemi di $B$...
la dispensa non specifica vincoli su $E,F$.
la dispensa non specifica vincoli su $E,F$.
Quella è l'unica strada.
Infatti prendi due $E,F$ di $Omega$ con $B\subseteq E$, $B\subseteq F$ e $P(E)!=P(F)$ (ad esempio pensa all'intervallo $[0,1]$ con la misura di Lebesgue, prendi $B=[1/2,1]$, $E=[1/3,1]$ ed $F=[1/4,1]$): hai:
$P(E)=2/3$, $P(F)=3/4$, $Q(E)=1=Q(F)$
quindi $(Q(E))/(Q(F))=1!=8/9=(P(E))/(P(F))$.
Infatti prendi due $E,F$ di $Omega$ con $B\subseteq E$, $B\subseteq F$ e $P(E)!=P(F)$ (ad esempio pensa all'intervallo $[0,1]$ con la misura di Lebesgue, prendi $B=[1/2,1]$, $E=[1/3,1]$ ed $F=[1/4,1]$): hai:
$P(E)=2/3$, $P(F)=3/4$, $Q(E)=1=Q(F)$
quindi $(Q(E))/(Q(F))=1!=8/9=(P(E))/(P(F))$.
questa è la definizione di probabilità condizionata ... nel testo parla di un caso particolare.
credo che dipenda da Q(B)=1. quando parla di P(~|B), in realtà parla di Q, tale che Q(B)=1. $P(EnnB)=P(E)$ perché B è "l'evento certo" ...
non so se è in realtà questa la soluzione del problema, prova a rifletterci su. ciao.
credo che dipenda da Q(B)=1. quando parla di P(~|B), in realtà parla di Q, tale che Q(B)=1. $P(EnnB)=P(E)$ perché B è "l'evento certo" ...
non so se è in realtà questa la soluzione del problema, prova a rifletterci su. ciao.
E ed F possono non essere sottoinsiemi di B, ma certamente lo sono $EnnB$ e $FnnB$.
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