Proprietà funzione di ripartizione univariata/bivariata

[mobley]

Ciao a tutti,

mi sto concentrando sulle proprietà della funzione di ripartizione univariata le quali, com'era lecito attendersi, mi hanno rimandato alle proprietà della funzione di ripartizione bivariata. Il mio testo è assai lacunoso sullo spiegare (e benché meno dimostrare) molte di esse, per cui spero in un aiuto da parte vostra.

Per definizione la funzione di ripartizione è $F_X:RR->[0,1]:F_X(x)=P(X<=x)$ dove, per variabili discrete $P(X<=x)=sum_(x_1<=x)p_X(x_i) $, mentre per variabili continue $P(X<=x)=int_(-\infty)^(x)f_X(x)dx$. Tale funzione gode delle seguenti proprietà:
1) $0<=F_X(x)<=1$ - Nulla da dire qui: dato l'insieme immagine di cui sopra, la funzione è definita in questo intervallo.
2) $lim_(x -> -\infty)F_X(x)=0$ - Non viene detto nulla in merito. Ho quindi provato a dimostrarla da solo:

$lim_(x -> -\infty)F_X(x)=lim_(x -> -\infty)P(X<=x)=P(lim_(x -> -\infty)(X<=x))=P(X<=-\infty) $

Dovendo venire $0$, l'evento di cui si sta calcolando la probabilità dev'essere necessariamente un insieme vuoto per cui

$P(X<=-\infty)=P(O/)=0$

Tuttavia fatico a giustificare queste uguaglianze in modo rigoroso: perchè $X<-\infty=O/$?
La risposta, intuitivamente parlando, potrebbe provenire dall'analisi della proprietà successiva...
3) $lim_(x -> +\infty)F_X(x)=1$ - Anche qui non viene detto nulla, e credo che la dimostrazione sia analoga alla precedente. Ora… Se la $x->+\infty$ significa che si sta calcolando la probabilità compresa nell'intervallo $(-\infty,+\infty)$ per cui, coerentemente con il criterio di coerenza di DeFinetti, la probabilità compresa in questo intervallo dev'essere per forza pari ad $1$. Specularmente, se la $x->-\infty$ significa che si sta calcolando la probabilità compresa nell'intervallo $(-\infty,-\infty)$ (cioè nel punto $-\infty$) che, per differenza rispetto a quanto appena detto, dev'essere per forza pari a $0$. Tuttavia non so se possa essere accettata come spiegazione… Cercavo qualcosa di più rigoroso.
4) $F_X(x)$ è monotona non decrescente, ovvero $\forall x_1
Passiamo ora alla funzione di ripartizione bivariata.
1) $lim_(x -> -\infty)F_(XY)(x,y)=lim_(y -> -\infty)F_(XY)(x,y)=0$ - Non viene detto nulla se non che "se uno dei due argomenti tende a meno infinito, l'insieme di riferimento tende all'insieme vuoto e la probabilità tende a zero". Mi ritrovo quindi a dover giustificare il fatto che $X<-\infty=O/$.
2) $lim_(x -> -\infty)F_(XY)(x,y)=F_Y(y)$, $lim_(y -> -\infty)F_(XY)(x,y)=F_X(x)$ - Non viene detto nulla se non che "per ottenere le funzioni di ripartizione marginali è sufficiente lasciar tendere l'altro argomento a $+\infty$ in modo che l'insieme di riferimento coincida con una semiretta.
3) $lim_(x,y -> +\infty)F_(XY)(x,y)=1$ - Non viene detto nulla.
4) $P(x_1
Questo è tutto. Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi a dimostrare le varie proprietà, credo possa essere utile a tutti come specchietto teorico. Grazie!

[mobley]

Ciao arnett,

innanzitutto grazie mille per la risposta!

"arnett":Non ho capito se hai capito. Giusto per accertarmi, a rischio di essere pedante: $0<=F_X(x)<=1$ poiché una probabilità è sempre minore o uguale a uno. Cioè questa proprietà non deriva dall'aver richiesto $ F_X:RR->[0,1]$. Potevi pure usare un codominio più ampio e le cose non cambiavano.

Hai fatto benissimo ad essere pedante: non avevo assolutamente riflettuto sul fatto che la funzione di ripartizione, in quanto probabilità che la v.a. possa assumere valori minori o uguali ad $x$, è per Kolmogorov compresa tra 0 ed 1. Quindi prima proprietà archiviata.

"arnett":$ P(X<=-\infty)=P(O/)=0 $
Beh: hai dimenticato l'ipotesi fondamentale, da mettere all'inizio di tutto: sia $X$ una v.a. a valori reali. Quindi non può assumere valori uguali a meno infinito. (Nemmeno minori: sotto non c'è nulla).

Perfetto, anche qui è tutto più chiaro ora. Poiché $X:\Omega -> RR$ la v.a. può assumere solo valori reali, quindi siccome $RR rArr -\infty

"arnett":$lim_(x -> +\infty)F_X(x)=1$
E' come prima: Questa è $\mathbb{P}(X\le+\infty)$. Ma $X$ è a valori reali e ogni reale è minore di più infinito...

Ok: se ogni reale è minore di più infinito, la probabilità che la $X<+\infty$ è certa.

"arnett":Nota che nella prossima proprietà correggo l'enunciato
$ \forall x_1 Usa la definzione: $F_X(x_1)=\mathbb{P}(X

Posso chiederti perchè ritieni sia sbagliata come definizione? Sia il mio testo che Wikipedia
(https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_monotona) sono concordi sull'utilizzo di questa definizione.

"arnett": Da dove studi?

E' un libro scritto dal docente dal titolo "Appunti per il corso di processi stocastici". Sto tuttavia integrando con "Metodologie per le scienze economiche e sociali" (Borra, Di Ciaccio), che è il libro che ho usato per l'esame di Statistica in triennale e "Calcolo delle probabilità" (Dall'Aglio). Ognuno di questi presenta spunti interessanti sull'argomento ma nessuno entra in dettaglio sulle proprietà delle funzioni di ripartizioni, né univariate né tantomeno bivariate, fornendo dimostrazioni o quanto meno spiegazioni.

[mobley]

"arnett":Per quanto riguarda le proprietà della bivariata prova a dimostrarle te, sempre passando alla definizione di funzione di ripartizione e ragionando sulle inclusioni insiemistiche.Riporta pure i tuoi tentativi che ne discutiamo assieme.

Credo di averle dimostrate tutte. Banali devo dire, una volta capito ciò che mi hai scritto.
- $ lim_(x_1 -> -\infty) F_(XY)(x,y)=lim_(x_2 -> -\infty) F_(XY)(x,y)=0 $ perché se $ x_1->-\infty rArr P(O/ \cap X_2<=x_2)=P(O/)=0 $ .
- $ lim_(x_1,x_2-> +\infty) F_(XY)(x,y)=1 $ perchè $x_1,x_2->+\infty rArrP(1\cap 1)=P(\Omega)=1$.
- $ lim_(x_1-> +\infty) F_(XY)(x,y)=F_(X_2)(x_2) $ perchè $x_1->+\infty rArrP(1\cap X_2<=x_2)=P(X_2<=x_2)=F_(X_2)(x_2)$.

"arnett": L'unica che mi è oscura nella notazione è l'ultima; cosa sarebbe delta?

Credo che per Delta si intenda l'area del rettangolo. Per la proprietà dev'essere $>=0$. Onestamente non so proprio come dimostrarlo.

[mobley]

"arnett":Sostanzialmente giuste, un po' precarie nella notazione: non scrivere $\mathbb{P}(1)$ ma $mathbb{P}(\Omega)$, se $\Omega$ è lo spazio campionario che stai considerando. Per esempio avresti
$lim_{x\to+\infty, y\to+\infty} F_{X, Y}(x, y)=\mathbb{P}(Xle+\infty, Y\le+\infty)=\mathbb{P}(\Omega_1\times\Omega_2\cap\Omega_1\times\Omega_2)=\mathbb{P}(\Omega_1\times\Omega_2)=\mathbb{P}(\Omega)=1$
Ma si vede che hai capito.

Ti ringrazio per la disponibilità arnett, provvedo a correggere.

"arnett":Per l'ultima non saprei, non mi viene in mente nulla. Se ti consola nel caso dei vettori le funzioni di ripartizione di utilizzano molto meno che nel caso delle variabili singole, quindi potrebbe darsi che non ti serva mai. (Non è una grande consolazione dal mio punto di vista eh...)

Eh lo so, non consola nemmeno me. Sto provando a buttar giù un abbozzo di dimostrazione sfruttando quello che conosco finora, in particolare il fatto che $ P(x_1

Cita

Segnala