Proposta risoluzione esercizio

[fabrizioR1]

Buongiorno a tutti, durante il ripasso per la preparazione all'esame di statistica mi sono imbattuto in un esercizio, volevo sapere se la soluzione da me proposta fosse accettabile.

Il coefficiente di correlazione lineare $ ρ $ tra due caratteri $X$ e $Y$ , è $ρ(X,Y) = 0.7$.
Determinare il valore assunto da $ρ(X,Z)$ essendo $Z = 2 - 3Y$

Risoluzione..

Posto $ ρ = (cov(x,y))/(σx*σy) $

Per la proprietà della Covarianza che afferma l'invarianza rispetto a traslazioni posso dire che $cov(x,y) = cov(x,z)$

Ricavo $cov(x,y)$ dal testo: $cov(x,y) = 0.7*σx*σy$

Per la proprietà prima enunciata posso scrivere $ (X,Z) = (cov(x,y))/(σx*σz)$ $ rarr $ $ (X,Z) = (0.7*σx*σy)/(σx*σ(2-3y))$
Semplifico ed ottengo $ ρ(X,Z)= (0.7*σy)/(σ(2-3y))$
Sapendo che $σ = sqrt(V) $ dove $V$ è la varianza, possiamo scrivere
$ρ (X,Z)$ = $ (0.7*sqrt(V(y)))/sqrt(V(2-3y))$
Per la proprietà della Varianza che afferma la sua invarianza rispetto a traslazioni posso scrivere:
$ ρ(X,Z) = (0.7*sqrt(V(y)))/sqrt(V(-3y))$
Per la proprietà della varianza "omegeneità di II grado" ovvero $ V(aX) = a^2 *V(X) $
posso scrivere :
$ρ (X,Z) = (0.7*sqrt(V(y)))/sqrt(9*V(y))$
segue che $ ρ(X,Z) = (0.7*sqrt(V(y)))/(3*sqrt(V(y)))$
Dopo le semplificazioni ed i calcoli abbiamo che $ ρ(X,Z) = 0.2bar(3) $

Grazie in anticipo,
Fabrizio

[retrocomputer]

"fabrizioR":
Per la proprietà della Covarianza che afferma l'invarianza rispetto a traslazioni posso dire che $cov(x,y) = cov(x,z)$

Però $Z=2-3Y$ non è (solo) una traslazione...

[fabrizioR1]

esatto, qui infatti ho l'unico dubbio perchè per quanto studiato non c'è un omogeneità di secondo grado anche per la covarianza...
Non so come uscirne..qualche consiglio?

[retrocomputer]

Non so se ho capito il dubbio che hai, ma la covarianza è bilineare, quindi i coefficienti si possono "portare fuori": $cov(X,aY+b)=a\cdot cov(X,Y)$.

[fabrizioR1]

mmm quindi in linea di massima potrei scrivere $cov(X,2-3Y) = 3*cov(X,2-Y)$ così facendo potrei applicare la proprietà suddetta ed avrei $3*cov(X,2-Y) = 3*cov(X,Y)$ giusto?

[retrocomputer]

"fabrizioR":la proprietà suddetta ed avrei $3*cov(X,2-Y) = 3*cov(X,Y)$ giusto?

Non credo però che il meno sparisca.

[fabrizioR1]

piazzando il meno fuori diventa $2+Y$ e dovrebbe essere tutto apposto?
altrimenti tu come risolveresti il tutto?

[retrocomputer]

Per me viene $Cov(X,Z)=Cov(X,2-3Y)=Cov(X,-3Y)=-3Cov(X,Y)$.