Processo Aleatorio [esercizio]
Sia dato il processo $ x(t) = A cos (2pif_0t)$ con $A$ variabile aleatoria Gaussiana standard e $f_0$ noto.
1) Si dica se $x(t)$ è stazionario in senso lato.
2)Si calcoli la d.d.p. della genrica variabile aleatoria $ x(t) $.
3)Il processo viene mandato in ingresso ad un sistema LTI con $H(f)=(1-|f|/(2f_0))rect(f/(4f_0))$ la cui uscita è il processo $ y(t) $. Calcolare la d.d.p. della generica variabile $y(t)$.
1) Allora, mi sono calcolato il valor medio:
$ E[x(t)]=E[A cos (2pif_0t)]= E[A] *E[cos (2pif_0t)]= 0 $ che è costante. Poi la funzione di correlazione:
$ R_x(t_1,t_2)=E[x(t_1)x(t_2)]=E[A^2cos(2pif_0t_1)cos(2pif_0t_2)] $ ecco, qui non riesco ad andare avanti. Come faccio a svilupparlo in modo che mi venga in funzione di $ t_1-t_2 $ ? Sempre che sia stazionario.
2) Allora, lo considero come una normale funzione di variabile aleatoria, con $t$ costante. Quindi applico il teorema fondamentale:
$ f_A(A)=1/sqrt(2pi)e^-(A ^2/2) $
$ (d x(t))/(dA)=cos(2pif_0t) $
$ A=(x(t))/(cos(2pif_0t)) $
Da cui
$ f_x(x)=e^-(x^2/(2cos^2(2pif_0t)))/(sqrt(2pi)cos(2pif_0t)) $
E' giusto? Mi sembra un pò strano.
Il terzo punto devo ancora farlo, ma per ora vedo se qualcuno può aiutarmi su questi due, poi posterò i miei tentativi per il 3°!
Grazie per ora
1) Si dica se $x(t)$ è stazionario in senso lato.
2)Si calcoli la d.d.p. della genrica variabile aleatoria $ x(t) $.
3)Il processo viene mandato in ingresso ad un sistema LTI con $H(f)=(1-|f|/(2f_0))rect(f/(4f_0))$ la cui uscita è il processo $ y(t) $. Calcolare la d.d.p. della generica variabile $y(t)$.
1) Allora, mi sono calcolato il valor medio:
$ E[x(t)]=E[A cos (2pif_0t)]= E[A] *E[cos (2pif_0t)]= 0 $ che è costante. Poi la funzione di correlazione:
$ R_x(t_1,t_2)=E[x(t_1)x(t_2)]=E[A^2cos(2pif_0t_1)cos(2pif_0t_2)] $ ecco, qui non riesco ad andare avanti. Come faccio a svilupparlo in modo che mi venga in funzione di $ t_1-t_2 $ ? Sempre che sia stazionario.
2) Allora, lo considero come una normale funzione di variabile aleatoria, con $t$ costante. Quindi applico il teorema fondamentale:
$ f_A(A)=1/sqrt(2pi)e^-(A ^2/2) $
$ (d x(t))/(dA)=cos(2pif_0t) $
$ A=(x(t))/(cos(2pif_0t)) $
Da cui
$ f_x(x)=e^-(x^2/(2cos^2(2pif_0t)))/(sqrt(2pi)cos(2pif_0t)) $
E' giusto? Mi sembra un pò strano.
Il terzo punto devo ancora farlo, ma per ora vedo se qualcuno può aiutarmi su questi due, poi posterò i miei tentativi per il 3°!
Grazie per ora
Risposte
Nessuno?
scusa ma perché nel calcolare la speranza hai diviso la costante dal resto?
"fu^2":
scusa ma perché nel calcolare la speranza hai diviso la costante dal resto?
Perchè $A$ non è una costante, è la variabile aleatoria.
E' sbagliato?
su quello non ci sono dubbi che è una variabile aleatoria, però non è che si può sempre fare $E(XY)=E(X)E(Y)$! Bisogna motivarlo 
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