Problemi su Cdf e MGF

[orithis]

1) Si formuli il modello di Cdf della variabile aleatoria "valor minimo" in un campione con n determinazioni di una v.a. esponenziale di parametro lambda

2) Avendo una Mgf pari a: e(3t+8) e considerando la trasformazione Y=3X + 2

Si calcoli ma MGF di X

come si fanno questi due problemi? E quali domande teoriche potrebbero essere associate ad essi?

Grazie

[Lo_zio_Tom]

Sono due esercizi molto semplici a patto che nel primo si specifichi che il campione è casuale e quindi le n determinazioni sono iid.
Nel secondo devi specificare la Mgf data a che variabile si riferisce...$ M_(x)(t) $ o $ M_(y)(t) $. A questo punto tramite la trasformazione puoi calcolare la mgf della variabile trasformata.

Ciò premesso il primo lo risolvi con la definizione diCDF

Sia $ Y=min (x_(i)) $ e $ f (x)=lambda e^(-lambda x) $

Allora

$ F_(Y)(y)=P (min (x)<=y)=1-P (min (x)> y) =1-P(x_(1)>y;x_(2)>y;...x_(n)>y)$

che, per il fatto che nel campionamento con reimmissione le variabili sono iid, porge

$F_(Y)(y)=1-P (x_(1)> y)\cdot ...\cdotP (x_(n)> y)=1-e^(-n lambda y) $


Mentre il secondo con le proprietà della MGF è banale: se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti si ha:

1) $ M_(X+Y)(t)=M_(X)(t)\cdot M_(Y)(t) $

2) $ M_( aX)(t)=M_(X)(at) $

Questi sono esercizi sulla trasformazione di vettori aleatori...manca ancora un metodo: quello della variabile ausiliaria. ..

[orithis]

quindi alla fine basta che sostituisco la variabile ausiliaria nell'argomento della esponenziale e poi applico la formula che hai scritto tu giusto?

E su questi argomenti quali domande teoriche credi possano essere fatte? Oltre alla definizione di MGF, distribuzione esponenziale ecc