Problema sullo scarto tipo

[Lims]

Problema: Dei componenti sono creati con una tecnologia che garantisce uno scarto tipo \(\displaystyle \sigma x \)
del peso - dal valore nominale di 1gr - uguale a 0,1 gr.
10 esemplari sono pesati insieme su una bilancia che garantisce uno scarto\(\displaystyle \sigma y \)
= 0,02gr in tutto il suo range di lavoro. Valutare lo scarto tipo \(\displaystyle \sigma z \) (rispetto al valore nominale di 10gr) dalla pesata dei 10 componenti.

Dopo aver riletto ripetutamente la traccia, l'unica soluzione a cui sono arrivato è questa:
Considerando la trasformata Z= 10X
Var{Z}=Var{10X}=100Var{X}=100*0,01=1
E quindi \(\displaystyle \sigma z \) = 1.
Nel caso il peso dei componenti abbia distribuzione gaussiana, allora
\(\displaystyle \sigma z^2 \) = 10 \(\displaystyle \sigma x^2 \)= 0,1
\(\displaystyle \sigma z \) = 0,316

Però da un lato mi sembra troppo semplice, e dall'altro (e soprattutto) non ho usato un dato del problema. Il che generalmente significa che non ho capito.

[snowflake1]

anche io avevo quest'esercizio e personalmente ho ragionato come te! L'unica differenza è che ho pensato che la trasformata possa essere Z=10X + Y dove Z è la v.a. della pesata totale, X la v.a. del peso del singolo componente e Y l'errore sistematico della bilancia.
lo scarto σz è la radice quadrata della varianza quindi come te ho calcolato Var{Z} cosi:

Var{Z} = Var{10X + Y } = 100Var{X} + Var{Y} + 2Cov{10X,Y}

essendo X e Y s-indipendenti dal momento che l errore della bilancia non dipende dal peso ma da come è tarata la Cov = 0 !
da cui Var{Z} = 100*0.01 + 0,004 = 1,004

da cui σz = 1

ma non ne sono sicura dal momento che non fatto nessuna considerazione sui due valori nominali che precisa nel testo.. e nemmeno il risultato mi convince... che ne dici?

[Lims]

Penso che il tuo ragionamento sia corretto; anche se alla fine il risultato è praticamente lo stesso in quanto l'errore della bilancia influisce poco.
Per quanto riguarda il valore nominale, ossia il valore atteso, per come avevo ragionato io, E{Z}=E{10X}=10E{X}=10
Nel momento in cui si aggiunge Y, E{Z}=E{10X+Y}=10E{X}+E{Y}=10+0=10
Partendo dal presupposto che E{Y}=0 altrimenti non ci troviamo XD. Per spiegare questo, essendo la media di un errore della bilancia, la sua media deve essere giustamente nulla in quanto il valore espresso dalla bilancia è \(\displaystyle \pm0,02 \)

Io proprio non riuscivo a conciliare le due cose xD
Sono stato 40 minuti a ragionare così:"nel momento in cui peso quei dieci oggetti con la bilancia, io considero il valore che mi fornisce la bilancia come il peso dell'oggetto (ossia della somma dei dieci oggetti, senza considerare più il peso nominale, in quanto la bilancia mi fornisce già il peso dell'insieme), con un errore di 0,02. Quindi lo scarto tipo della pesata è 0,02? No, non è possibile che sia così. Allora forse vuole sapere la somma del peso dei dieci oggetti. Quindi calcolo la varianza della trasformata Z=10X. Ma poi la bilancia a che serve?"

[snowflake1]

okok ! mi sembra abbastanza fattibile adesso!! il ragionamento sulla media che hai fatto mi sembra l'unico possibile altrimenti non c'è motivazione a quello che sottolinea il testo! anche se non specifica che debba essere + o - 0,02 , dice solo che lo scarto è pari a 0,02 ! sarebbe vero se la distribuzione dell'errore fosse simmetrica ( e di media nulla), cosa che è vera per gli errori aleatori... secondo te questo è un errore aleatorio o sistematico? io credo che sia sistematico anche se poi l abbiamo considerato a tutti gli effetti come una variabile aleatoria con scarto tipo!

[Lims]

Sinceramente... Non lo so.
Ho pensato che l'errore di uno strumento è generalmente + o - un certo valore. Una distribuzione simmetrica dell'errore penso sia la più plausibile...
Ho letto il paragrafo riguardante la genesi dell'errore aleatorio e dice che "l'errore di misura presenta una regolarità statistica conforme al modello gaussiano". Quindi penso sia un errore aleatorio.