Problema probabilita pdf
si fornuli la pdf della v.a. trasformata$ Y=cos(X) $
sapendo che $f(x)=1/pi$ con
$ -pi/2<=x<=pi/2$
questo è un esercizio già svolto sul mio libro e infatti questo scrive
$F(y)=[F(-x)-F(-pi/2)]+[F(pi/2)-F(x)]$
praticamente mi sono bloccato a questo
(il libro è molto sintetico nello svolgimento)
qualcuno sa perché ha scritto quella roba?
io ho immaginato che abbia considerato questi 2 eventi
$-x > > -pi/2+x
$0 > > 0
sapendo che $f(x)=1/pi$ con
$ -pi/2<=x<=pi/2$
questo è un esercizio già svolto sul mio libro e infatti questo scrive
$F(y)=[F(-x)-F(-pi/2)]+[F(pi/2)-F(x)]$
praticamente mi sono bloccato a questo
(il libro è molto sintetico nello svolgimento)
qualcuno sa perché ha scritto quella roba?
io ho immaginato che abbia considerato questi 2 eventi
$-x
$0
Risposte
Molto più semplicemente, considerando che la X è una uniforme continua (ovvero un rettangolo ) in $[-pi/2;pi/2]$
Basta fare un grafico della funzione di trasformazione, $Y=cos(X)$, per verificare subito che, ponendo $alpha="arccos"y$, abbiamo
$P[Y>y]=P{-alpha
(che è appunto l'area di un rettangolo di base $2alpha$ ed altezza $f(x)=1/pi$) e quindi
$F_Y(y)=1-P[Y>y]=1-2 "arccos"y*1/pi$
Per $0
Mentre è zero per $y<=0$ e 1 per $y>=1$
Derivi poi la F per ottenere la pdf cercata...
^^^^^^^^^^^^^
Il tuo libro ha scritto le stesse cose ma utilizza la $F_X=x/pi+1/2$... è un procedimento inutilmente complicato, che va bene in generale ma qui la distribuzione di X è un rettangolo e quindi basta fare $"base" xx " altezza"$, senza passare per la $F_X$ (che tra l'altro ti dovresti preventivamente calcolare...)
Comunque i due risultati coincidono:
$(-"arccos"y)/pi+1/2-0+1-("arcos"y)/pi-1/2=1-(2"arccos"y)/pi$
ciao
Basta fare un grafico della funzione di trasformazione, $Y=cos(X)$, per verificare subito che, ponendo $alpha="arccos"y$, abbiamo
$P[Y>y]=P{-alpha
(che è appunto l'area di un rettangolo di base $2alpha$ ed altezza $f(x)=1/pi$) e quindi
$F_Y(y)=1-P[Y>y]=1-2 "arccos"y*1/pi$
Per $0
Mentre è zero per $y<=0$ e 1 per $y>=1$
Derivi poi la F per ottenere la pdf cercata...
^^^^^^^^^^^^^
Il tuo libro ha scritto le stesse cose ma utilizza la $F_X=x/pi+1/2$... è un procedimento inutilmente complicato, che va bene in generale ma qui la distribuzione di X è un rettangolo e quindi basta fare $"base" xx " altezza"$, senza passare per la $F_X$ (che tra l'altro ti dovresti preventivamente calcolare...)
Comunque i due risultati coincidono:
$(-"arccos"y)/pi+1/2-0+1-("arcos"y)/pi-1/2=1-(2"arccos"y)/pi$
ciao
grazie mille tommik
ad essere sincero però non ho capito come hai fatto tu ,menre invece mi sembra di aver capito come ga fattk il libro(per spiegarlo bisgona disegnare la f(x) e trovare gli intervalli di x incorrisponenza del quale si verifica l evento
$(Y<=y)$
il risultato finale viene
$(2/pi)/(1-y^2)^(1/2)$ per 0<=y<=1
ad essere sincero però non ho capito come hai fatto tu ,menre invece mi sembra di aver capito come ga fattk il libro(per spiegarlo bisgona disegnare la f(x) e trovare gli intervalli di x incorrisponenza del quale si verifica l evento
$(Y<=y)$
il risultato finale viene
$(2/pi)/(1-y^2)^(1/2)$ per 0<=y<=1
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