Problema distribuzione congiunta
Salve,
stavo facendo un serecizio che forniva i seguenti dati:
$ X $,$ Y $ variabili aleatorie,
funzione densità congiunta: $ f_(X,Y)(x,y) = 2(x+y) $ se $ 0<=y<=x<=1 $ , $ 0 $ altrimenti
$ X $ e $ Y $ quindi NON sono indipendenti ( $ f_(X)(x) = 3x^2 $ e $ f_(Y)(y) = -3y^2 + 2y + 1 $ )
Chiedeva quindi la probabilità che $ X + Y > 1/2 | X < 1/2 $ , ovvero $ int_(0)^(1/2) int_(1/2-x)^(1) f_(X,Y)(x,y) dy dx $
A questo punto mi è venuto un dubbio, come si dovrebbe procedere per calcolare la probabilità che $ X*Y > 1/9 $ (1/9 è un valore scelto a caso), ho pensato che si potesse calcolare come $ int_(1/9)^(1) f_(X)(x) int_(1/(9x))^(1) f_(Y|X)(y|x) dy dx $ ovvero $ int_(1/9)^(1) int_(1/(9x))^(1) f_(X,Y)(x,y) dy dx $ . Qual'è il problema in questo ragionamento ?
stavo facendo un serecizio che forniva i seguenti dati:
$ X $,$ Y $ variabili aleatorie,
funzione densità congiunta: $ f_(X,Y)(x,y) = 2(x+y) $ se $ 0<=y<=x<=1 $ , $ 0 $ altrimenti
$ X $ e $ Y $ quindi NON sono indipendenti ( $ f_(X)(x) = 3x^2 $ e $ f_(Y)(y) = -3y^2 + 2y + 1 $ )
Chiedeva quindi la probabilità che $ X + Y > 1/2 | X < 1/2 $ , ovvero $ int_(0)^(1/2) int_(1/2-x)^(1) f_(X,Y)(x,y) dy dx $
A questo punto mi è venuto un dubbio, come si dovrebbe procedere per calcolare la probabilità che $ X*Y > 1/9 $ (1/9 è un valore scelto a caso), ho pensato che si potesse calcolare come $ int_(1/9)^(1) f_(X)(x) int_(1/(9x))^(1) f_(Y|X)(y|x) dy dx $ ovvero $ int_(1/9)^(1) int_(1/(9x))^(1) f_(X,Y)(x,y) dy dx $ . Qual'è il problema in questo ragionamento ?
Risposte
devi risolvere il seguente integrale
$P(XY>1/9)=P(Y>1/(9x))=intint_(y>1/(9x))f(x,y)dxdy=int_(sqrt(9)/9)^(1)dxint_(1/(9x))^(x)2(x+y)dy$
saluti
PS: se eviti di scrivere "grazie a chi risponderà" mi fai più felice.....e un moderatore felice è anche un utente felice[nota]sono anziano, porta pazienza
[/nota]
$P(XY>1/9)=P(Y>1/(9x))=intint_(y>1/(9x))f(x,y)dxdy=int_(sqrt(9)/9)^(1)dxint_(1/(9x))^(x)2(x+y)dy$
saluti
PS: se eviti di scrivere "grazie a chi risponderà" mi fai più felice.....e un moderatore felice è anche un utente felice[nota]sono anziano, porta pazienza
[/nota]
"tommik":
devi risolvere il seguente integrale
$P(XY>1/9)=P(Y>1/(9x))=intint_(y>1/(9x))f(x,y)dxdy=int_(sqrt(9)/9)^(1)dxint_(1/(9x))^(x)2(x+y)dy$
saluti
PS: se eviti di scrivere "grazie a chi risponderà" mi fai più felice.....e un moderatore felice è anche un utente felice[nota]sono anziano, porta pazienza
Ho modificato il messaggio
Potresti per cortesia spiegarmi l'ultimo passaggio?
quale passaggio non ti è chiaro? Devi integrare la distribuzione congiunta in questa area che poi è l'area di intersezione fra il dominio $01/(9x)$, ovvero l'area sopra l'iperbole nel primo quadrante
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Niente da cellulare non mi visualizzava la foto. Adesso mi é più chiaro, grazie 
"arosso":
Chiedeva quindi la probabilità che $ X + Y > 1/2 | X < 1/2 $ , ovvero $ int_(0)^(1/2) int_(1/2-x)^(1) f_(X,Y)(x,y) dy dx $
non mi pare affatto giusta la tua soluzione
Viene così
$P(X+Y>1/2 |X<1/2)=int_(1/4)^(1/2)dxint_(1/2-x)^(x)f(x,y)dy*1/(P(X<1/2))$
sei d'accordo?
al numeratore ci va la probabilità dell'intersezione $(x+y>1/2) nn (x<1/2)$ che è l'integrale su questa area
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
e il tutto va diviso per $P(X<1/2)$ facilmente calcolabile dopo che ti sei ricavato la marginale (che non ho controllato, ovviamente)
Osservazione: il fatto che X e Y non siano indipendenti si vede anche dal dominio, non serve stare a calcolare le marginali....infatti condizione necessaria per l'indipendenza è che il dominio sia rettangolare...qui è un triangolo...ergo le variabili non sono indipendenti
ciao ciao
Si hai ragione. Avevo sbagliato a copiare sia il risultato che il testo in realtà 
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