Problema distribuzione
In quandi modi è possibile distribuire 20 palline non numerate in 4 urne numerate a1,a2,a3,a4 in modo che a1 contenga almeno 3 palline e non piú di 6,a2 non piú di 3 ed a3 piú di 5?. non capisco cm ragionare 
Risposte
Non si dice nulla dell'ultima urna?
comincerei ragionando così:
$3<=a_1<=6$
$3<=a_2$
$a_3>5$
$a_1+a_2+a_3<=19$ o forse 20, l'ultima urna può rimanere vuota o deve contenere almeno una pallina?
$a_3<= 20-(a_1+a_2)$
Allora le combinazioni possibili di $a_1$ e $a_2$ non sono difficili da individuare, mi sembra che siano eventi indipendenti:
$a_1$ può assumere 4 possibili valori: 3, 4, 5, 6
$a_2$ ne può assumere 3: 1, 2, 3
Di conseguenza le possibili combinazioni sono 12.
Diventa più complicato sistemare a_3 perchè dipende dai valori precedenti...
vediamo cosa succede: $a_3$ può assumere sempre i seguenti valori: 6, 7, 8, 9, 10 (s'era detto che ci si fermava a 19 o 20?, in questo secondo caso va bene anche 11)
mentre possiamo mettere 12 o più palline nella terza urna solo se si sono verificati alcuni eventi precedentemente
Tu cosa ne pensi?
comincerei ragionando così:
$3<=a_1<=6$
$3<=a_2$
$a_3>5$
$a_1+a_2+a_3<=19$ o forse 20, l'ultima urna può rimanere vuota o deve contenere almeno una pallina?
$a_3<= 20-(a_1+a_2)$
Allora le combinazioni possibili di $a_1$ e $a_2$ non sono difficili da individuare, mi sembra che siano eventi indipendenti:
$a_1$ può assumere 4 possibili valori: 3, 4, 5, 6
$a_2$ ne può assumere 3: 1, 2, 3
Di conseguenza le possibili combinazioni sono 12.
Diventa più complicato sistemare a_3 perchè dipende dai valori precedenti...
vediamo cosa succede: $a_3$ può assumere sempre i seguenti valori: 6, 7, 8, 9, 10 (s'era detto che ci si fermava a 19 o 20?, in questo secondo caso va bene anche 11)
mentre possiamo mettere 12 o più palline nella terza urna solo se si sono verificati alcuni eventi precedentemente
Tu cosa ne pensi?
"gio73":
Non si dice nulla dell'ultima urna?
comincerei ragionando così:
$3<=a_1<=6$
$3<=a_2$
$a_3>5$
$a_1+a_2+a_3<=19$ o forse 20, l'ultima urna può rimanere vuota o deve contenere almeno una pallina?
$a_3<= 20-(a_1+a_2)$
..
io come ragionamento ho impostato simile al tuo però ho considerato il sistema in qst modo:
$3<=a_1<=6$
$a_2<=3$
$a_3>5$
$a_3>0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=20$
poi da qui mi ricavo i due sistemi:
a)
$a_1>=3$
$a_2>=3$
$a_3>=5$
$a_4>=0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=20$
b)
$a_1>=6$
$a_2>=3$
$a_3>=5$
$a_4>=0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=20$
Successivamente trovo il sistema finale (a,b) :
$a_1>=3$
$a_2>=3$
$a_3>=5$
$a_4>=0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=20$
da qui ho la risoluzione del sistema finale (a,b):
$a_1>=0$
$a_2>=0$
$a_3>=0$
$a_4>=0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=9$
per trovare la soluzione uso la formula: (n+k-1)!/(n!*(k-1)!), da cui risulta che ho 55 modi di distribuzione delle palline. Può essere giusto???
Non ho mai fatto questo tipo di esercizi, ma se non ho capito male, bisogna dividere il caso con tutte le limitazioni inferiori ($a_i>k$) dagli eventuali casi di limitazione superiore ($a_ik$ in $a_i\geq k+1$ e le condizioni $a_i
Per esempio:
questo non dovrebbe diventare $a_3>=6$?
Per esempio:
"5t4rdu5t":
$a_3>5$
$a_3>0$
$a_1+a_2+a_3+a_4=20$
poi da qui mi ricavo i due sistemi:
a)
$a_1>=3$
$a_2>=3$
$a_3>=5$
questo non dovrebbe diventare $a_3>=6$?
Non entro nel merito, ma fornisco questa tabella (salvo errori di programmazione).
u1 u2 u3 u4 sum [1,] 6 3 11 0 20 [2,] 6 2 12 0 20 [3,] 5 3 12 0 20 [4,] 6 1 13 0 20 [5,] 5 2 13 0 20 [6,] 4 3 13 0 20 [7,] 6 0 14 0 20 [8,] 5 1 14 0 20 [9,] 4 2 14 0 20 [10,] 3 3 14 0 20 [11,] 5 0 15 0 20 [12,] 4 1 15 0 20 [13,] 3 2 15 0 20 [14,] 4 0 16 0 20 [15,] 3 1 16 0 20 [16,] 3 0 17 0 20 [17,] 6 3 10 1 20 [18,] 6 2 11 1 20 [19,] 5 3 11 1 20 [20,] 6 1 12 1 20 [21,] 5 2 12 1 20 [22,] 4 3 12 1 20 [23,] 6 0 13 1 20 [24,] 5 1 13 1 20 [25,] 4 2 13 1 20 [26,] 3 3 13 1 20 [27,] 5 0 14 1 20 [28,] 4 1 14 1 20 [29,] 3 2 14 1 20 [30,] 4 0 15 1 20 [31,] 3 1 15 1 20 [32,] 3 0 16 1 20 [33,] 6 3 9 2 20 [34,] 6 2 10 2 20 [35,] 5 3 10 2 20 [36,] 6 1 11 2 20 [37,] 5 2 11 2 20 [38,] 4 3 11 2 20 [39,] 6 0 12 2 20 [40,] 5 1 12 2 20 [41,] 4 2 12 2 20 [42,] 3 3 12 2 20 [43,] 5 0 13 2 20 [44,] 4 1 13 2 20 [45,] 3 2 13 2 20 [46,] 4 0 14 2 20 [47,] 3 1 14 2 20 [48,] 3 0 15 2 20 [49,] 6 3 8 3 20 [50,] 6 2 9 3 20 [51,] 5 3 9 3 20 [52,] 6 1 10 3 20 [53,] 5 2 10 3 20 [54,] 4 3 10 3 20 [55,] 6 0 11 3 20 [56,] 5 1 11 3 20 [57,] 4 2 11 3 20 [58,] 3 3 11 3 20 [59,] 5 0 12 3 20 [60,] 4 1 12 3 20 [61,] 3 2 12 3 20 [62,] 4 0 13 3 20 [63,] 3 1 13 3 20 [64,] 3 0 14 3 20 [65,] 6 3 7 4 20 [66,] 6 2 8 4 20 [67,] 5 3 8 4 20 [68,] 6 1 9 4 20 [69,] 5 2 9 4 20 [70,] 4 3 9 4 20 [71,] 6 0 10 4 20 [72,] 5 1 10 4 20 [73,] 4 2 10 4 20 [74,] 3 3 10 4 20 [75,] 5 0 11 4 20 [76,] 4 1 11 4 20 [77,] 3 2 11 4 20 [78,] 4 0 12 4 20 [79,] 3 1 12 4 20 [80,] 3 0 13 4 20 [81,] 6 3 6 5 20 [82,] 6 2 7 5 20 [83,] 5 3 7 5 20 [84,] 6 1 8 5 20 [85,] 5 2 8 5 20 [86,] 4 3 8 5 20 [87,] 6 0 9 5 20 [88,] 5 1 9 5 20 [89,] 4 2 9 5 20 [90,] 3 3 9 5 20 [91,] 5 0 10 5 20 [92,] 4 1 10 5 20 [93,] 3 2 10 5 20 [94,] 4 0 11 5 20 [95,] 3 1 11 5 20 [96,] 3 0 12 5 20 [97,] 6 2 6 6 20 [98,] 5 3 6 6 20 [99,] 6 1 7 6 20 [100,] 5 2 7 6 20 [101,] 4 3 7 6 20 [102,] 6 0 8 6 20 [103,] 5 1 8 6 20 [104,] 4 2 8 6 20 [105,] 3 3 8 6 20 [106,] 5 0 9 6 20 [107,] 4 1 9 6 20 [108,] 3 2 9 6 20 [109,] 4 0 10 6 20 [110,] 3 1 10 6 20 [111,] 3 0 11 6 20 [112,] 6 1 6 7 20 [113,] 5 2 6 7 20 [114,] 4 3 6 7 20 [115,] 6 0 7 7 20 [116,] 5 1 7 7 20 [117,] 4 2 7 7 20 [118,] 3 3 7 7 20 [119,] 5 0 8 7 20 [120,] 4 1 8 7 20 [121,] 3 2 8 7 20 [122,] 4 0 9 7 20 [123,] 3 1 9 7 20 [124,] 3 0 10 7 20 [125,] 6 0 6 8 20 [126,] 5 1 6 8 20 [127,] 4 2 6 8 20 [128,] 3 3 6 8 20 [129,] 5 0 7 8 20 [130,] 4 1 7 8 20 [131,] 3 2 7 8 20 [132,] 4 0 8 8 20 [133,] 3 1 8 8 20 [134,] 3 0 9 8 20 [135,] 5 0 6 9 20 [136,] 4 1 6 9 20 [137,] 3 2 6 9 20 [138,] 4 0 7 9 20 [139,] 3 1 7 9 20 [140,] 3 0 8 9 20 [141,] 4 0 6 10 20 [142,] 3 1 6 10 20 [143,] 3 0 7 10 20 [144,] 3 0 6 11 20
si, si tratta del principio di inclusione-esclusione, e il programma dajeforte mi sembra corretto. Ma nn capisco cm applicare il teorema appena detto e ottenere i quattro sistemi con la soluzione finale 
"5t4rdu5t":
si, si tratta del principio di inclusione-esclusione, e il programma dajeforte mi sembra corretto. Ma nn capisco cm applicare il teorema appena detto e ottenere i quattro sistemi con la soluzione finale
Intanto potresti cominciare scrivendo il sistema con tutti $\geq$, facendo attenzione al passaggio da $>$ a $geq$. Poi passi a scrivere quelli complementari.
"DajeForte":
Non entro nel merito, ma fornisco questa tabella (salvo errori di programmazione).
Come l'hai ricavata?
"retrocomputer":
[quote="DajeForte"]Non entro nel merito, ma fornisco questa tabella (salvo errori di programmazione).
Come l'hai ricavata?[/quote]
Dalle limitazioni viene fuori che:
$a_1=3,4,5,6$
$a_2=0,1,2,3$
$a_3=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17$ (questo perchè $a_2$ ed $a_4$ possono essere 0 ed $a_1$ al minimo 3
$a_4=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$.
Poi ho scritto un array a 4 dimensioni con tutte le possibili combinazioni. Ho fatto la somma e mi sono fatto restituire quelli che hanno somma 20.
"DajeForte":
Poi ho scritto un array a 4 dimensioni con tutte le possibili combinazioni. Ho fatto la somma e mi sono fatto restituire quelli che hanno somma 20.
Perfetto, grazie! Ora vediamo se assieme a 5t4rdu5t si riesce a risolvere il problema anche algebricamente...
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