Problema di probabilitá con test
Essendo un po' arruginito, avrei bisogno, gentilmente, di qualcuno che mi rinfreschi le idee su questo problema:
La mortalitá di una certa malattia in una popolazione é stimata essere dello 0.45%.
Esiste un test, la cui accuratezza é del 98%, con una percentuale di falsi positivi pari al 2%.
Una persona a caso (cioé senza sintomi o altre inidcazioni che possa essere malato) si sottopone al test che risulta positivo.
Che probabilitá ha di morire?
Ora, sono in grado di risolvere questo problema ragionandoci e mi viene fuori una formuletta che poco importa ora.
Il problema é che io ricordo che c'era un modo elegantissimo di arrivare allo stesso risultato usando le probabilitá di morire (0,45%) e moltiplicandole per un fattore che viene calcolato sulla base delle caratteristiche di accuratezza del test riportate sopra.
Qualcuno ha una idea?
Grazie
La mortalitá di una certa malattia in una popolazione é stimata essere dello 0.45%.
Esiste un test, la cui accuratezza é del 98%, con una percentuale di falsi positivi pari al 2%.
Una persona a caso (cioé senza sintomi o altre inidcazioni che possa essere malato) si sottopone al test che risulta positivo.
Che probabilitá ha di morire?
Ora, sono in grado di risolvere questo problema ragionandoci e mi viene fuori una formuletta che poco importa ora.
Il problema é che io ricordo che c'era un modo elegantissimo di arrivare allo stesso risultato usando le probabilitá di morire (0,45%) e moltiplicandole per un fattore che viene calcolato sulla base delle caratteristiche di accuratezza del test riportate sopra.
Qualcuno ha una idea?
Grazie
Risposte
"professorkappa":
Esiste un test, la cui accuratezza é del 98%, con una percentuale di falsi positivi pari al 2%.
E falsi negativi? O "accuratezza" vuol dire che anche quelli sono il 2%?
In altre parole, il test é accurato nello scoprire i positivi e i negativi al 98%. Se ti fai il test e ti viene positivo, senza alcuna altra informazione, la tua probabilitá di morire é 98%. E lo stesso vale se ti esce negativo (ti salvi al 98%).
"professorkappa":
La mortalitá di una certa malattia in una popolazione é stimata essere dello 0.45%.
Esiste un test, la cui accuratezza é del 98%, con una percentuale di falsi positivi pari al 2%.
Una persona a caso (cioé senza sintomi o altre inidcazioni che possa essere malato) si sottopone al test che risulta positivo.
Che probabilitá ha di morire?
$0,0045*P(\text{malato}|\text{positivo})$
$=0,0045*{P(\text{malato e positivo})}/{P(\text{positivo})}$
$=0,0045*{P(\text{malato e positivo})}/(P(\text{malato e positivo})+P(\text{sano e positivo}))$
poi metti i numeri ecc. O ho capito male il significato di "mortalità"?
No, credo che tu abbia inteso bene la mortalitá, ma riformulo per sicurezza.. Cambio leggermente il testo e i numeri in modo da eliminare ogni dubbio.
Una malattia ha un tasso di diffusione in un certo Paese dell 1%.
Il test per rilevare la malattia é accurato nel 98% dei casi (se hai la malattia, 98 volte su 100 verra positivo) e ha una percentuale di falsi positivi del 5% (se NON hai la malattia, 95 volte su 100 il test é negativo).
Calcolare la probabilita che una persona che si sottopone al test abbia la malattia se risulta positiva al test.
A me viene fuori, calcoli alla mano, che la probabilitá é 16.53%
Ma devo usare il ragionamento che usi tu sopra (peraltro mi sembra che la formula tua sia errata).
Il punto é che il metodo che ricordo io era piú automatico. la probabilitá cercata era epressa senza somme al denominatore cosi:
$P(A)=P(B)*(A_1/A_2)$ dove quelle A contenevano solo le caratteristiche del test (98% e 95%, oppure 98% e 5%).
Ma non me lo ricordo, mi sfugge qualcosa e purtroppo la memoria non mi aiuta!
Vabbé, ci penseró e se mi viene in testa, ti diró. Grazie dello sforzo, riguarda quella formula, mi puzza che raccogli quel 0.0045. Se la riapplichi ai nuovi numeri, tu che sei piu sveglio di me, vedi se il risultato di 16.53% coincide.
Grazie mille per il tempo dedicatomi
Una malattia ha un tasso di diffusione in un certo Paese dell 1%.
Il test per rilevare la malattia é accurato nel 98% dei casi (se hai la malattia, 98 volte su 100 verra positivo) e ha una percentuale di falsi positivi del 5% (se NON hai la malattia, 95 volte su 100 il test é negativo).
Calcolare la probabilita che una persona che si sottopone al test abbia la malattia se risulta positiva al test.
A me viene fuori, calcoli alla mano, che la probabilitá é 16.53%
Ma devo usare il ragionamento che usi tu sopra (peraltro mi sembra che la formula tua sia errata).
Il punto é che il metodo che ricordo io era piú automatico. la probabilitá cercata era epressa senza somme al denominatore cosi:
$P(A)=P(B)*(A_1/A_2)$ dove quelle A contenevano solo le caratteristiche del test (98% e 95%, oppure 98% e 5%).
Ma non me lo ricordo, mi sfugge qualcosa e purtroppo la memoria non mi aiuta!
Vabbé, ci penseró e se mi viene in testa, ti diró. Grazie dello sforzo, riguarda quella formula, mi puzza che raccogli quel 0.0045. Se la riapplichi ai nuovi numeri, tu che sei piu sveglio di me, vedi se il risultato di 16.53% coincide.
Grazie mille per il tempo dedicatomi
"professorkappa":
Grazie dello sforzo, riguarda quella formula, mi puzza che raccogli quel 0.0045.
Perché? Per morire devi essere positivo, e poi hai una probabilità di 0,0045 di morire. O non funziona così?
"professorkappa":
La mortalitá di una certa malattia in una popolazione é stimata essere dello 0.45%.
Esiste un test, la cui accuratezza é del 98%, con una percentuale di falsi positivi pari al 2%.
Ma quanti hanno la malattia?
[/quote]
Ma quanti hanno la malattia?[/quote]
No, lascia perdere come ho impostato il primo quesiyo, che puo confondere proprio perche esise la differenza tra mortalita (numero di persone nel Paese che muoiono di una certa malattia) e letalitá (numero di persone che muoiono se contraggono la malattia e infatti credo che tu abbia preso lo 0.45% per letalitá).
Basati sul "nuovo" testo, che non parla di mortalitá o letalitá, proprio per evitare incomprensioni e i cui dati sono:
Il numero totale di contagiati di quella malattia nel Paese (1%)
L'attendibilitá di un test (98% dei positivi sono infetti e il 95% dei negativi sono sani)
Quanta é la probabilitá, se un test risulta positivo, di essere contagiato?
A me viene 16.53%.
Mi confermi questo valore? E come lo calcoli?
Ma quanti hanno la malattia?[/quote]
No, lascia perdere come ho impostato il primo quesiyo, che puo confondere proprio perche esise la differenza tra mortalita (numero di persone nel Paese che muoiono di una certa malattia) e letalitá (numero di persone che muoiono se contraggono la malattia e infatti credo che tu abbia preso lo 0.45% per letalitá).
Basati sul "nuovo" testo, che non parla di mortalitá o letalitá, proprio per evitare incomprensioni e i cui dati sono:
Il numero totale di contagiati di quella malattia nel Paese (1%)
L'attendibilitá di un test (98% dei positivi sono infetti e il 95% dei negativi sono sani)
Quanta é la probabilitá, se un test risulta positivo, di essere contagiato?
A me viene 16.53%.
Mi confermi questo valore? E come lo calcoli?
"professorkappa":
Il numero totale di contagiati di quella malattia nel Paese (1%)
L'attendibilitá di un test (98% dei positivi sono infetti e il 95% dei negativi sono sani)
E non "98% degli infetti sono positivi" e "95% dei sani sono negativi"?
Anche perché la probabilità che un positivo sia infetto è quello che stai cercando di calcolare, mi pare.
La mia risposta è quella di prima senza 0,0045 davanti, no? Mettendo i numeri, viene $0,165261$, sì.
Risolto!!!!!! Ho avuto un lampo mentre dormivo !!!!!!!!!
Occorre trasformare tutto in probabilitá del tipo ODD, intese non come rapporto $"malati"/("malati+sani")$
ma $"malati"$ contro $"sani"$. - per esempio 50% é 1:1. Oppure 20% é $1:4$ etc.
Nel nostro caso, dato che il tasso di malati nella popolazione é 1%, le probabilita "odd" sono $1:99$
Poi si prende il rapporto tra l'attendibilitá del test (98%) e il numero di falsi positivi $5%$ che é $19.6$
Questo é il moltiplicatore che cercavo.
Ora basta moltiplicare $1:99 * 19.6$ e si ottiente $19.6:99$ che riportato in probabilitá percentuali dá $19.6/(19.6+99)=16.53%$
In formule $O("malato|positivo")=O("malato")*(P("positivo|malato"))/(P("positivo|sano"))=O("malato")*("attendibilitá del test")/("percentuale falsi positivi")$
Non mi ricordavo il cambio da percentuale a "odd", mi é venuto in mente a folgorazione dopo aver visto la tua formula scritta per esteso.
Grazie mille!!!
Occorre trasformare tutto in probabilitá del tipo ODD, intese non come rapporto $"malati"/("malati+sani")$
ma $"malati"$ contro $"sani"$. - per esempio 50% é 1:1. Oppure 20% é $1:4$ etc.
Nel nostro caso, dato che il tasso di malati nella popolazione é 1%, le probabilita "odd" sono $1:99$
Poi si prende il rapporto tra l'attendibilitá del test (98%) e il numero di falsi positivi $5%$ che é $19.6$
Questo é il moltiplicatore che cercavo.
Ora basta moltiplicare $1:99 * 19.6$ e si ottiente $19.6:99$ che riportato in probabilitá percentuali dá $19.6/(19.6+99)=16.53%$
In formule $O("malato|positivo")=O("malato")*(P("positivo|malato"))/(P("positivo|sano"))=O("malato")*("attendibilitá del test")/("percentuale falsi positivi")$
Non mi ricordavo il cambio da percentuale a "odd", mi é venuto in mente a folgorazione dopo aver visto la tua formula scritta per esteso.
Grazie mille!!!
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