Problema di probabilità

[lutteo20001]

Da un sacchetto contenente i numeri della tombola (da 1 a 90) vengono estratti in blocco trenta numeri e inseriti
(senza essere guardati) in un’urna U. Successivamente da U vengono compiute successive estrazioni con restituzione.
Dopo quante estrazioni (N) in cui non si ottiene mai il 90 si può affermare che la probabilità che il 90 non si trovi in
U sia maggiore del 90% ?
La soluzine è :N = 45

Salve a tutti io ho questo problema ma non riesco a risolverlo perchè usando la binomiale con N e 0 e p= 1/90 e q= 89/90 non mi torna il risultato! qualcuno sa darmi una mano' grazie in anticipo!

[wnvl]

Supponiamo un’urna U contenente 30 numeri (il 90 incluso)

\(\displaystyle P(90 \; non \; ottenuto \; dopo \; N\; estrazioni | 90 \; nella \; urna)=\left( \frac{29}{30} \right)^N \)


Supponiamo che non sappiamo se l’urna U contiene 90

\(\displaystyle P(90 \; non \; ottenuto \; dopo \; N)= P(90 \; non \; ottenuto \; dopo \; N | 90 \; nella \; urna) P(90 \; nella \; urna) \)
\(\displaystyle + P(90 \; non \; ottenuto \; dopo \; N| no \;90 \; nella \; urna)P(no \; 90 \; nella \; urna) \)

\(\displaystyle P(90 \; non \; ottenuto \; dopo \; N)= \left( \frac{29}{30} \right)^N \cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{2}{3} \)

...

[wnvl]

... Continuo

\(\displaystyle \frac{\left(\frac{29}{30} \right)^N \cdot \frac{1}{3}}{\left( \frac{29}{30} \right)^N \cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{2}{3}}=0.1 \)

\(\displaystyle \frac{\left(\frac{29}{30} \right)^N }{\left( \frac{29}{30} \right)^N + 2}=0.1 \)

\(\displaystyle \left(\frac{29}{30} \right)^N =0.1\left( \frac{29}{30} \right)^N+0.2 \)

\(\displaystyle \left(\frac{29}{30} \right)^N =\frac{2}{9} \)

\(\displaystyle N =\frac{log \left( \frac{2}{9} \right)}{log \left(\frac{29}{30}\right)}=??? \)

[lutteo20001]

grazie mille!