Problema di probabilità
Ciao a tutti potete darmi delle dritte per questo esercizio?
Ci sono 20 palline, 6 nere, 9 grigie e 5 bianche, e vengono messe casualmente in 3 urne. Qual è la probabilità che nessuna urna rimanga vuota? E che ognuna contenga 2 nere?
Al primo quesito non saprei di preciso come rispondere, però mi è venuto in mente di fare cosi:
La probabilità che due urne rimangono vuote quindi che una qualsiasi sia completamente piena penso sia:
$ P = 3 * [1/(20C6) * 1/(20C9) * 1/(20C5)] = 3 * (1 / 38760)(1 / 167960)(1 / 15504) = 1 / 33644349772800 $
La probabilità che nessuna rimanga vuota, ossia tutte e tre parzialmente piene può essere il complemento ad uno della probabilità una sola sia completamente piena?
E quindi:
$ P2 = 1 - P = 1 - (1 / 33644349772800) = 33644349772799 / 33644349772800 $
Ho grossi dubbi che sia giusto ma è l' unica cosa mi è venuta a mente.
Il secondo quesito invece l' ho risolto cosi:
$ P = 2/20 * 2/18 * 2/16 = 1/720 $
ma temo che pure questo sia sbagliato.
Grazie dell' aiuto. Ciao.
Ci sono 20 palline, 6 nere, 9 grigie e 5 bianche, e vengono messe casualmente in 3 urne. Qual è la probabilità che nessuna urna rimanga vuota? E che ognuna contenga 2 nere?
Al primo quesito non saprei di preciso come rispondere, però mi è venuto in mente di fare cosi:
La probabilità che due urne rimangono vuote quindi che una qualsiasi sia completamente piena penso sia:
$ P = 3 * [1/(20C6) * 1/(20C9) * 1/(20C5)] = 3 * (1 / 38760)(1 / 167960)(1 / 15504) = 1 / 33644349772800 $
La probabilità che nessuna rimanga vuota, ossia tutte e tre parzialmente piene può essere il complemento ad uno della probabilità una sola sia completamente piena?
E quindi:
$ P2 = 1 - P = 1 - (1 / 33644349772800) = 33644349772799 / 33644349772800 $
Ho grossi dubbi che sia giusto ma è l' unica cosa mi è venuta a mente.
Il secondo quesito invece l' ho risolto cosi:
$ P = 2/20 * 2/18 * 2/16 = 1/720 $
ma temo che pure questo sia sbagliato.
Grazie dell' aiuto. Ciao.
Risposte
a me verrebbe in mente di contare le funzioni dall'insieme di palline all'insieme di urne.
nel primo quesito non conta la distribuzione dei colori, ma solo il totale delle palline.
nel secondo quesito non contano le palline di altri colori, ma solo le palline nere.
considerato che il numero delle funzioni distinte da un insieme A ad un insieme B, entrambi finiti, è $|B|^||A|$,
il primo quesito proverei a risolverlo facendo il rapporto tra le funzioni suriettive e il totale delle funzioni da un insieme di 20 elementi a un insieme di 3 elementi. il calcolo attraverso le partizioni sarebbe più complicato, visto che 20 è abbastanza grande, mentre una strada simile a quella intrapresa da te porta più semplicemente a trovare il numero delle funzioni non suriettive. ti scrivo come viene a me, e tu prova a confrontare i risultati: $(3^20-3*2^20-3)/(3^20)$
per quanto riguarda il secondo, pochi minuti fa ho risposto ad una domanda simile posta da un altro utente; avrei preferito aspettare qualche altro parere in merito, però te la ripropongo con i tuoi dati, utilizzando solo le funzioni da un insieme di 6 elementi a un insieme di 3 elementi: $(((6),(2))*((4),(2))*((2),(2))*3!)/(3^6)=(6!*3!)/(2^3*3^6)$
spero di non avere sbagliato a scrivere...
ciao
nel primo quesito non conta la distribuzione dei colori, ma solo il totale delle palline.
nel secondo quesito non contano le palline di altri colori, ma solo le palline nere.
considerato che il numero delle funzioni distinte da un insieme A ad un insieme B, entrambi finiti, è $|B|^||A|$,
il primo quesito proverei a risolverlo facendo il rapporto tra le funzioni suriettive e il totale delle funzioni da un insieme di 20 elementi a un insieme di 3 elementi. il calcolo attraverso le partizioni sarebbe più complicato, visto che 20 è abbastanza grande, mentre una strada simile a quella intrapresa da te porta più semplicemente a trovare il numero delle funzioni non suriettive. ti scrivo come viene a me, e tu prova a confrontare i risultati: $(3^20-3*2^20-3)/(3^20)$
per quanto riguarda il secondo, pochi minuti fa ho risposto ad una domanda simile posta da un altro utente; avrei preferito aspettare qualche altro parere in merito, però te la ripropongo con i tuoi dati, utilizzando solo le funzioni da un insieme di 6 elementi a un insieme di 3 elementi: $(((6),(2))*((4),(2))*((2),(2))*3!)/(3^6)=(6!*3!)/(2^3*3^6)$
spero di non avere sbagliato a scrivere...
ciao
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