Problema dell'arresto del gioco

[Mrhaha]

Ciao ragazzi!
Il mio libro enencia questo problema e poi dice "Più avanti se ne darà una soluzione",ma poi io questa soluzione non l'ho più trovata!
Il problema è questo "Due persone A e B,decidono di giocare ad un gioco. $A$ scommette sulla sua vittoria la somma $p$,mentre $B$ scommette sulla sua vittoria $q$,chi vincerà quattro partite vincerà la somma $p+q$.
Mentre A ha vinto 3 partite,e B solo due,decidono di terminare il gioco. Come dividere la quoto totale?"
Io avevo pensato di dare $3/5$ della posta ad A,e $2/5$ a B. Che ne dite?

[cenzo1]

Direi che hai scritto un'eresia!

Immagina una situazione di gioco diversa: A ha vinto 3 partite e B nessuna.
Col tuo criterio daresti tutto ad A, quando invece B ha ancora una certa probabilità di vincere, non nulla.

[Mrhaha]

ahaha! Ma hai pienamente ragione,ma non riesco a darmi una risposta! Hai qualcosa in mente?

[cenzo1]

Mi sembra ragionevole distribuire la posta in base alle probabilità di vittoria aggiornate al momento dell'arresto.

[Mrhaha]

Mmmm...ci devo pensare!

[cenzo1]

Parole sante!

Se vuoi, un suggerimento:

Assumi che le poste \(p\) e \(q\) definiscono un gioco equo e fai attenzione che si riferiscono alla vittoria di 4 partite.. cioè si gioca "al meglio di 7".

[Mrhaha]

Cenzo ma devo considerare che entrambi abbiano la stessa probabilità di vincere una partita?

[cenzo1]

Direi di no.

Immagina che A e B convengono sia equo puntare rispettivamente p=70 corone e q=30 corone sulla propria vittoria.
Qual è il grado di fiducia che ripongono sulle rispettive vittorie ?

[Mrhaha]

Mi verrebbe da dire 7/10 e 3/10,ma poi cadrei nello stesso errore precedente!

[cenzo1]

"Mrhaha":Mi verrebbe da dire 7/10 e 3/10,ma poi cadrei nello stesso errore precedente!

Direi che è giusto. Sono le stime delle probabilità a priori (prima di iniziare a giocare) per la vittoria di A e B.

Diciamo che i due giocatori stimano 7/10 la probabilità che A ha di vincere il torneo (4 partite su 7) e 3/10 la probabilità che ha B di vincere il torneo (4 partite su 7).

Se decidono di arrestare il gioco subito, prima di giocare la prima partita, ripartiscono la posta 70+30=100 in base a queste probabilità: in pratica A si riprende 70 e B si riprende i suoi 30. Mi sembra coerente, no?

Il problema ora è calcolare come cambiano le probabilità di vittoria di A e B dopo 5 partite che vedono A condurre per 3 a 2.

La posta p+q=100 andrebbe ripartita in base a queste nuove probabilità.

[Mrhaha]

Mmmm...Certo! Grazie Cenzo!
Però ci voglio ancora pensare,poi magari se ho qualche dubbio chiederò un tuo aiuto!

[cenzo1]

Certo. E' un problema interessante.

[Faussone]

E' interessante. A me sono venute in mente due soluzioni, ma non so se sono equivalenti, se una è giusta o se sono ambedue sbagliate....

Quella più intuitiva mi sembrerebbe calcolare che probabilità ha di vincere A dopo che siamo sul 3 a 2.
Siccome gli basterebbe vincere solo un altro gioco allora la probabilità sarebbe $1-k*k$ dove $k$ sarebbe la probabilità che ha B di vincere un singolo gioco.
Calcolato questo il problema sarebbe risolto visto che il complemento a 1 di questo sarebbe la probabilità di vincere che ha B. Poi basta ripartire secondo le probabilità calcolate il montepremi $p+q$.
Però non so quanto valga $k$..... forse posso calcolarlo note $p$ e $q$?


L'altro metodo sarebbe quello di utilizzare le probabilità condizionate. Se chiamo
$E_1$ evento vincita $A$
$E_2$ evento punteggio 3 a 2 per A
e quindi
$P(E_1|E_2)$ provabilità di $E_1$ quando si verifica l'evento $E_2$ e viceversa,

applico il teorema di Bayes

$P(E_1|E_2)=P(E_2|E_1)*\frac{P(E_1)}{P(E_2)}$

$P(E_1|E_2)$ è quello che cerco.
$P(E_2|E_1)$ lo posso calcolare.
$P(E_2)$ lo posso calcolare
ma
$P(E_1)$ è la probabilità che ha $A$ di vincere che dovrebbe essere paria a $p/(p+q)$, ma non sono sicuro.....

Attendo cenZure da cenzo

[cenzo1]

@Faussone

Direi che sono equivalenti, anche se il secondo approccio mi sembra più complicato.
Ho seguito praticamente il primo metodo che hai descritto.

La chiave sta proprio nel calcolare la probabilità che ha A (oppure B) di vincere una sola partita.
L'informazione nota è che la probabilità di A di vincere il torneo (4 partite su 7) è $p/(p+q)$.

[Faussone]

@cenzo

Capito.
Grazie!

[cenzo1]

You're welcome!

[Mrhaha]

Io avevo pensato direttamente alla formula di Bayes!
Però l'altro metodo mi sembra più semplice! Grazie ragazzi!
Secondo me non era proprio banale però!

[cenzo1]

@Mrhaha

Quindi, per p=70 e q=30, come si ripartisce il montepremi di p+q=100 ?
Quanto spetta ad A e B ?

[DajeForte]

Così se potesse interessare ho letto sul Dall'Aglio che, sebbene in una formulazione leggermente differente, questo problema è stato ogetto di corrispondenza tra Pascal e Fermat nel 1654 e rappresenta uno dei punti di inizio della probabilità.

[cenzo1]

@Daje
Non ne avevo idea. Grazie per l'interessante informazione.
Imho, è un bel problema perchè richiede diversi concetti: il gioco equo, la binomiale-"inversa" e la probabilità condizionata. Sempre che non ho cannato qualcosa.

PS: ho iniziato a ragionare sui quesiti da colloquio..

[Faussone]

"cenzo":@Mrhaha

Quindi, per p=70 e q=30, come si ripartisce il montepremi di p+q=100 ?
Quanto spetta ad A e B ?

Miei risultati.

A me risulta che la probabilità di vincere il singolo gioco che ha A è 59,5% e B è 40,5% .

Per cui ottengo che la probabilità che ha A di vincere al momento dell'arresto è 83,5% e B 16,5%, il montepremi andrebbe ripartito in questo modo quindi, A vincerebbe in base alla puntata iniziale e B perderebbe dunque.