Problema dell'arresto del gioco

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26 ago 2011, 15:25

Ciao ragazzi!
Il mio libro enencia questo problema e poi dice "Più avanti se ne darà una soluzione",ma poi io questa soluzione non l'ho più trovata!
Il problema è questo "Due persone A e B,decidono di giocare ad un gioco. $A$ scommette sulla sua vittoria la somma $p$,mentre $B$ scommette sulla sua vittoria $q$,chi vincerà quattro partite vincerà la somma $p+q$.
Mentre A ha vinto 3 partite,e B solo due,decidono di terminare il gioco. Come dividere la quoto totale?"
Io avevo pensato di dare $3/5$ della posta ad A,e $2/5$ a B. Che ne dite?

Risposte

cenzo1

31 ago 2011, 09:42

@Faussone:

Faussone

31 ago 2011, 10:00

Perfetto. Grazie cenzo!
Solo una domanda addizionale io ho risolto facendo una tabellina in Excel, e andando a tentativi fino ad ottenere la probabilità finale voluta di 0,7. Esiste un metodo migliore?

cenzo1

31 ago 2011, 10:09

Direi di no: è un'equazione di 7° grado, quindi soluzione numerica.
In Excel 2007 ho usato il risolutore (o la vecchia "Ricerca Obiettivo" della versione 2003)

Prego, ciao.

Faussone

31 ago 2011, 12:12

"cenzo":
Direi di no: è un'equazione di 7° grado, quindi soluzione numerica.
In Excel 2007 ho usato il risolutore (o la vecchia "Ricerca Obiettivo" della versione 2003)

Sì conosco.
Siccome avevi parlato di binomiale inversa credevo esistesse qualcosa di pronto.
Ciao!

Mrhaha

31 ago 2011, 13:51

"DajeForte":
Così se potesse interessare ho letto sul Dall'Aglio che, sebbene in una formulazione leggermente differente, questo problema è stato ogetto di corrispondenza tra Pascal e Fermat nel 1654 e rappresenta uno dei punti di inizio della probabilità.

esattamente!
Emmm...riguardo la soluzione? p=70 e q =30? A $83.5$ e B $16.5$?

Faussone

31 ago 2011, 13:53

@Mrhaha

Sì quella è la soluzione che ottengo io e che ha confermato aver ottenuto anche cenzo.

Mrhaha

31 ago 2011, 13:57

Scusami Faussone,ma non avevo letto la tua risposta!

cenzo1

31 ago 2011, 16:26

"Mrhaha":
Emmm...riguardo la soluzione? p=70 e q =30? A $83.5$ e B $16.5$?

"Priciso 'ntifico" il risultato di Faussone..
Speravo fornissi la prima cifra decimale esatta, a me torna P(A)=83.578%, arrotondato a 83.6%

Chiamo $x$ ($0 L'equazione di 7° grado mi viene (salvo errori):
$f(x)=20x^7-70x^6+84x^5-35x^4+p/(p+q)=0$

Risulta $f(0)=p/(p+q)>0$; $f(1)=-1+p/(p+q)<0$
Quindi per il teorema degli zeri c'è almeno una soluzione nell'intervallo $(0,1)$

Inoltre la $f(x)$ è strettamente decrescente in $(0,1)$:
$f'(x)=140x^3(x-1)^3<0$ per $0 Quindi la soluzione è anche unica.

L'espressione della f(x) e della f'(x) tornano comode per utilizzare l'algoritmo di Newton per la ricerca dello zero.
In Excel ho impostato il punto iniziale in $x=0.5$ e ho fissato 7 iterazioni.

Ho notato che le proporzioni di spartizione del montepremi alla fine dipendono solo dal rapporto $p/q$.
Mi sono quindi "divertito" a fare un paio di grafici:

Da questo secondo grafico in cui confronto Odds iniziali e finali (al 3 a 2 per A), risulterebbe (punto giallo) che sono uguali solo per $p/q \sim 18.26$.
Quinidi, salvo errori, per valori di $p/q$ inferiori a 18.26, A ottiene più di quello con cui era partito (B meno).
Viceversa per $p/q$ superiore a 18.26.