Problema dei giochi di Archimede del 2010/2011
Ciao a tutti vi scrivo perché mi sto esercitando per i giochi di Archimede; ho incontrato questo problema:
In una squadra ci sono 11 giocatori e 11 maglie numerate da 1 a 11. I giocatori entrano nello spogliatoio uno alla volta in ordine casuale. Ciascuno, appena arriva, sceglie una maglia a caso, tranne Danilo che preferisce la maglia numero 8 e, se è disponibile prende quella. Qual'è la probabilità che Danilo riesca ad ottenere il suo numero di maglia preferito?
Allora io proprio non ho capito come devo ragionare perché non riesco a capire la probabilità, dato che non mi dice quando Danilo entra nello spogliatoio. Grazie per le risposte, vorrei solo un input per poi ragionarci da solo. Grazie
In una squadra ci sono 11 giocatori e 11 maglie numerate da 1 a 11. I giocatori entrano nello spogliatoio uno alla volta in ordine casuale. Ciascuno, appena arriva, sceglie una maglia a caso, tranne Danilo che preferisce la maglia numero 8 e, se è disponibile prende quella. Qual'è la probabilità che Danilo riesca ad ottenere il suo numero di maglia preferito?
Allora io proprio non ho capito come devo ragionare perché non riesco a capire la probabilità, dato che non mi dice quando Danilo entra nello spogliatoio. Grazie per le risposte, vorrei solo un input per poi ragionarci da solo. Grazie
Risposte
Io non sono affatto bravo in questi problemi, però ti dico come farei. Intanto chiamiamo \(E\) l'evento "Danilo prende la maglia 8" ed \(E_i\), per \(i=1, 2 \ldots 11\), l'evento "Danilo entra per \(i\)-esimo nello spogliatoio". La probabilità cercata è
\[P(E)=\sum_{i=1}^{11}P(E \mid A_i) P(A_i),\]
(formula della probabilità condizionata), perché \(E=EA_1 \cup EA_2 \cup \ldots EA_{11}\) e questi eventi sono mutuamente esclusivi. E' facile calcolare \(P(A_i)\) perché è scritto nella traccia: i giocatori entrano in ordine completamente casuale, quindi \(P(A_i)=1/11\). Resta da calcolare \(P(E\mid A_i)\) e questo è un problema fattibile: infatti essa è uguale ad \(1\) meno la probabilità che uno dei giocatori entrati prima di Danilo abbia preso proprio la maglia \(8\).
Prova un po' magari e vedi se ti convince.
\[P(E)=\sum_{i=1}^{11}P(E \mid A_i) P(A_i),\]
(formula della probabilità condizionata), perché \(E=EA_1 \cup EA_2 \cup \ldots EA_{11}\) e questi eventi sono mutuamente esclusivi. E' facile calcolare \(P(A_i)\) perché è scritto nella traccia: i giocatori entrano in ordine completamente casuale, quindi \(P(A_i)=1/11\). Resta da calcolare \(P(E\mid A_i)\) e questo è un problema fattibile: infatti essa è uguale ad \(1\) meno la probabilità che uno dei giocatori entrati prima di Danilo abbia preso proprio la maglia \(8\).
Prova un po' magari e vedi se ti convince.
io direi che il fatto che scelga una maglia in maniera deterministica non incide sul risultato in quanto, quando entra nello spogliatoio, Danilo non conosce il passato, cioè non ha informazioni su quali maglie sono già state prese e quali no. Dunque che entri per primo o entri per ultimo la probabilità di trovare la maglia n°8 non cambia ed è uguale a... 
Il problema può essere scritto nella seguente maniera: considera un cesto con \(n\) palline di cui \(n-1\) sono nere (N) e una è rossa (R).
Ora supponi che ad ogni istante di tempo fissato tu prenda una pallina dal cesto e la togli senza guardarla. Dopo un istante di tempo casuale ti fermi ed estrai guardando un'altra volta. A questo punto ti domandi qual'è la probabilità di estrarre la pallina rossa.
Quello che penso è che tu non puoi avere informazioni sul passato, su cosa sia successo all'interno del cesto negli istanti precedenti.
Sopratutto tu non puoi sapere qual'è l'istante a cui ti sei fermato e quindi non puoi fare previsioni sulla probabilità che hai estratto o meno la pallina rossa negli istanti già trascorsi (qualcuno direbbe che devi fare un'ipotesi di massima entropia, in quanto non hai nessuna informazione sul sistema).
Spero di non aver detto troppe cavolate, dimmi se ti convince il ragionamento (molto euristico)...
Il problema può essere scritto nella seguente maniera: considera un cesto con \(n\) palline di cui \(n-1\) sono nere (N) e una è rossa (R).
Ora supponi che ad ogni istante di tempo fissato tu prenda una pallina dal cesto e la togli senza guardarla. Dopo un istante di tempo casuale ti fermi ed estrai guardando un'altra volta. A questo punto ti domandi qual'è la probabilità di estrarre la pallina rossa.
Quello che penso è che tu non puoi avere informazioni sul passato, su cosa sia successo all'interno del cesto negli istanti precedenti.
Sopratutto tu non puoi sapere qual'è l'istante a cui ti sei fermato e quindi non puoi fare previsioni sulla probabilità che hai estratto o meno la pallina rossa negli istanti già trascorsi (qualcuno direbbe che devi fare un'ipotesi di massima entropia, in quanto non hai nessuna informazione sul sistema).
Spero di non aver detto troppe cavolate, dimmi se ti convince il ragionamento (molto euristico)...
"fu^2":
Dunque che entri per primo o entri per ultimo la probabilità di trovare la maglia n°8 non cambia ed è uguale a...
Se entro per primo la trovo sicuro (con probabiità 1); se entro per secondo la trovo con probabiità $1-1/(11)$.
Si grazie per le risposte ma.... 
ho capito ben poco nel senso che quello che non riesco a capire è se Danilo non sa niente del passato ed entra anche lui in ordine casuale se entra per primo la probabilità è di 1/11 ma se entra per ultimo la probabilità è per forza del 100% (sempre se qualcuno non gli abbia preso la maglia numero 8) per favore aiutatemi a capire non l'ho ancora capito. Vi dico le risposte
A(4/9); B(5/11); C(1/2); D(6/11); E(5/9). Se riuscite a darmi un illuminazione perché io non riesco a capirlo.
ho capito ben poco nel senso che quello che non riesco a capire è se Danilo non sa niente del passato ed entra anche lui in ordine casuale se entra per primo la probabilità è di 1/11 ma se entra per ultimo la probabilità è per forza del 100% (sempre se qualcuno non gli abbia preso la maglia numero 8) per favore aiutatemi a capire non l'ho ancora capito. Vi dico le risposteA(4/9); B(5/11); C(1/2); D(6/11); E(5/9). Se riuscite a darmi un illuminazione perché io non riesco a capirlo.
"nicolaflute":
Si grazie per le risposte ma....
Ti ho detto, questo si interpreta in termini di probabilità condizionata. Sappiamo calcolare la probabilità che Danilo prenda la maglia 8 se sappiamo che egli è entrato per primo: è \(1\).
Se invece entra per secondo questa probabilità è \(1\) meno la probabilità che quello prima di lui prenda proprio la maglia 8, ovvero \(1-1/11\).
Se entra per terzo questa probabilità è \(1\) meno la probabilità che uno dei due prima di lui si prenda la maglia 8, ovvero \(1-10/\begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}=1-2/11\).
E così via. Se Danilo entra per \(i\)-esimo questa probabilità è \(1\) meno la probabilità che uno degli \(i-1\) prima di lui si sia preso la maglia 8, ovvero \(1-\begin{pmatrix}10 \\ i-2\end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 11 \\ i-1 \end{pmatrix}=1-(i-1)/11\).
Come dicevo nel primo post, la probabilità totale si ottiene sommando tutte queste probabilità condizionate e dividendo per \(11\). Dobbiamo cioè calcolare
\[\frac{1}{11}\sum_{i=1}^{11}\left( 1-\frac{i-1}{11}\right)=\frac{1}{11}\left[1-\frac{\sum_{j=1}^{10} j}{11}\right]=\frac{6}{11}.\]
Ah ok ora ci sono però non ci sarei mai arrivato. Grazie
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