Problema con variabile aleatoria
Ho per esempio X variabile aleatoria, che può assumere con equiprobabilità ${-pi/6,-pi/2,0,pi/2,pi}$. Calcola CDF, PDF e media della variabile aleatoria:
1)Y=$sin(X)$
2)Z=$|Y+W|$ con W che è v.a. di Bernoulli indipendente da Y
3) Z=$N_1+sign (N_2)$ dove $N_1$ e $N_2$ sono variabili al. gaussiane indipendenti con media 2 e varianza 16.
il 1) Y=$sin(X)$ assume valori ${-1/2,-1,0,1,0}$ quindi P (Y$=-1$)=$1/5$ ; P ($Y=-(1/2)$)=$1/5$; P ($Y=0$)=$2/5$
quindi la media è $-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5$ cioè la sommatoria di x*p
e la cdf, viene una specie di scala (intendo il grafico),pdf invece degli impulsi centrati in ${-1/2,-1,0,1,0}$
questo mi è chiaro
2)Z assume valori ${1/2,1,0,2}$ ed W invece ${0,1}$
quindi P($ Z=1$)=P{$(Y=1,W=0) U (Y=0,W=1) U (Y=-1,W=0)}$=$1/5*1/2+2/5*1/2+1/5*1/2$
qui è finito?se si l'ho capito
3) N può assumere valori {1 per $N_2>0$; -1 per $N_2<0} con N si considera $sign (N_2)$
P($N=1$)=P($N_2>0$)=$1-Q(1/2)$
$f_z(z)$ =$f_z$(z/$N=1$) *P($N=1$)+ $f_z$(z/$N=-1$) *P($N=-1$) come faccio a capire che si fa così?cioè questo è il procedimento ma perchè?
e basta?
questi tipi di esercizi si risolvono sempre così? o ci sono altre varianti?
ciao
EDIT: Grazie luca
1)Y=$sin(X)$
2)Z=$|Y+W|$ con W che è v.a. di Bernoulli indipendente da Y
3) Z=$N_1+sign (N_2)$ dove $N_1$ e $N_2$ sono variabili al. gaussiane indipendenti con media 2 e varianza 16.
il 1) Y=$sin(X)$ assume valori ${-1/2,-1,0,1,0}$ quindi P (Y$=-1$)=$1/5$ ; P ($Y=-(1/2)$)=$1/5$; P ($Y=0$)=$2/5$
quindi la media è $-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5$ cioè la sommatoria di x*p
e la cdf, viene una specie di scala (intendo il grafico),pdf invece degli impulsi centrati in ${-1/2,-1,0,1,0}$
questo mi è chiaro
2)Z assume valori ${1/2,1,0,2}$ ed W invece ${0,1}$
quindi P($ Z=1$)=P{$(Y=1,W=0) U (Y=0,W=1) U (Y=-1,W=0)}$=$1/5*1/2+2/5*1/2+1/5*1/2$
qui è finito?se si l'ho capito
3) N può assumere valori {1 per $N_2>0$; -1 per $N_2<0} con N si considera $sign (N_2)$
P($N=1$)=P($N_2>0$)=$1-Q(1/2)$
$f_z(z)$ =$f_z$(z/$N=1$) *P($N=1$)+ $f_z$(z/$N=-1$) *P($N=-1$) come faccio a capire che si fa così?cioè questo è il procedimento ma perchè?
e basta?
questi tipi di esercizi si risolvono sempre così? o ci sono altre varianti?
ciao
EDIT: Grazie luca
Risposte
Due cose da correggere:
1) $E[Y]=-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5=-1/10$
2) é Z che assume i valori ${1/2,1,0,2}$ e non Y
Un chiarimento sulla tua soluzione del 3) : chi é N? il testo del 3) è corretto?
1) $E[Y]=-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5=-1/10$
2) é Z che assume i valori ${1/2,1,0,2}$ e non Y
Un chiarimento sulla tua soluzione del 3) : chi é N? il testo del 3) è corretto?
"luca.barletta":
Due cose da correggere:
1) $E[Y]=-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5=-1/10$
2) é Z che assume i valori ${1/2,1,0,2}$ e non Y
Un chiarimento sulla tua soluzione del 3) : chi é N? il testo del 3) è corretto?
grazie luca della segnalazione: ho corretto, cmq si è corretto.
Nella soluzione del 3): N può assumere i valori 1 e -1, non 1 e 2.
Quella formula che hai scritto nella soluzione del 3 non è altro che il teorema delle prob totali, ovvero:
$f_z(z) = sum_i f_z(z|A_i)P(A_i)$
dove $A_i$ sono eventi tali che siano una partizione dello spazio campionario.
Quella formula che hai scritto nella soluzione del 3 non è altro che il teorema delle prob totali, ovvero:
$f_z(z) = sum_i f_z(z|A_i)P(A_i)$
dove $A_i$ sono eventi tali che siano una partizione dello spazio campionario.
giusto , grazie ancora.
si l'avevo intuito che era la formula delle probabilità totali, ma come facci o a sapere se si deve usare questa o un altra, in un esercizio simile? la domanda vale anche per gli altri 2 pt.
cioè ho avuto questo problema davanti e non l'ho saputo fare, ora vedendo la soluzione +o- mi trovo,però che ragionamento devo fare quando un problema mi chiede la cdf,pdf, media? considerando anche il fatto che ogni variabile vuole il suo modo per calcolarsi la media?
si l'avevo intuito che era la formula delle probabilità totali, ma come facci o a sapere se si deve usare questa o un altra, in un esercizio simile? la domanda vale anche per gli altri 2 pt.
cioè ho avuto questo problema davanti e non l'ho saputo fare, ora vedendo la soluzione +o- mi trovo,però che ragionamento devo fare quando un problema mi chiede la cdf,pdf, media? considerando anche il fatto che ogni variabile vuole il suo modo per calcolarsi la media?
Quando per trovare dei risultati fai delle ipotesi, allora devi usare le probabilità condizionate. Quando queste ipotesi hanno a che fare con variabili aleatorie, allora il più delle volte devi usare il th delle prob totali, proprio come nel punto 3.
L'importante, ripeto, è che quando trovi un risultato devi ricordarti se hai imposto o meno delle ipotesi per trovare quel risultato (condizionamento dello spazio campionario).
L'importante, ripeto, è che quando trovi un risultato devi ricordarti se hai imposto o meno delle ipotesi per trovare quel risultato (condizionamento dello spazio campionario).
e nel 2) la cdf e la pdf?
e nel 3) la cdf basta solo integrare il risultato ottenuto?
e la media di 2) e 3)?
e nel 3) la cdf basta solo integrare il risultato ottenuto?
e la media di 2) e 3)?
Per trovare cdf, pdf e medie puoi procedere come hai fatto nel punto 1
quindi quello che ho scritto nel punto 2 è la cdf, che poi derivando ho la pdf? e la media?
invece nel punto 3, mi sono calcolato la pdf, ed integrando ottengo la cdf?
se si rispetto a chi si integra e si deriva?
o si fa solo il grafo?
invece nel punto 3, mi sono calcolato la pdf, ed integrando ottengo la cdf?
se si rispetto a chi si integra e si deriva?
o si fa solo il grafo?
Nel punto 2 hai calcolato la pdf, integrando troverai la cdf. Per la media applichi la def:
$E[Z] = sum_z z*P(Z=z)$
Nel punto 3 devi trovare la cdf integrando rispetto alla variabile aleatoria di interesse, in questo caso z.
$E[Z] = sum_z z*P(Z=z)$
Nel punto 3 devi trovare la cdf integrando rispetto alla variabile aleatoria di interesse, in questo caso z.
"luca.barletta":
Nel punto 3 devi trovare la cdf integrando rispetto alla variabile aleatoria di interesse, in questo caso z.
quindi la cdf sarà un numero* Z
poi ci manca la media giusto?
In generale la cdf sarà una funzione di z, $F(z)$, tale che $lim_(z->+infty) F(z) = 1$.
Per la media usa la formula per le v.c. continue:
$E[Z]=int_z z*f_Z(z)*dz$
Per la media usa la formula per le v.c. continue:
$E[Z]=int_z z*f_Z(z)*dz$
"luca.barletta":
In generale la cdf sarà una funzione di z, $F(z)$, tale che $lim_(z->+infty) F(z) = 1$.
Per la media usa la formula per le v.c. continue:
$E[Z]=int_z z*f_Z(z)*dz$
v.c. mi dici a cosa sta?
"Bandit":
[quote="luca.barletta"]In generale la cdf sarà una funzione di z, $F(z)$, tale che $lim_(z->+infty) F(z) = 1$.
Per la media usa la formula per le v.c. continue:
$E[Z]=int_z z*f_Z(z)*dz$
v.c. mi dici a cosa sta?[/quote]
variabili casuali
"nicasamarciano":
[quote="Bandit"][quote="luca.barletta"]In generale la cdf sarà una funzione di z, $F(z)$, tale che $lim_(z->+infty) F(z) = 1$.
Per la media usa la formula per le v.c. continue:
$E[Z]=int_z z*f_Z(z)*dz$
v.c. mi dici a cosa sta?[/quote]
variabili casuali[/quote]
mai sentito nominare. domani mattina lo ricontrollo per l'ennesima volta
tnx
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