Problema con Moneta
Salve tutti! Chi mi saprebbe spiegare in maniera semplice come risolvere questo problemino?
"Qual'è la probabilità di osservare esattamente $k$ sequenze di risultati consecutivi identici in $n$ lanci di una moneta supposta non truccata?"
Risposta: $(((n-1),(k-1)))/2^(n-1)$
"Qual'è la probabilità di osservare esattamente $k$ sequenze di risultati consecutivi identici in $n$ lanci di una moneta supposta non truccata?"
Risposta: $(((n-1),(k-1)))/2^(n-1)$
Risposte
Sei sicuro che la formula sia corretta?
Mi spiego subito...
Immaginiamo di voler sapere la probabilità di osservare 3 sequenze di risultati consecutivi identici in 6 lanci.
Se non vado errando le sequenze "favorevoli" dovrebbero essere queste:
TTCCTT opure CCTTCC.
Mentre quelle totali dovrebbero essere $2^6$.
La probabilità sarà : $2/2^6=1/2^5$.
Secondo il tuo risultato: $10/2^5$, da questo il mio dubbio.
Mi spiego subito...
Immaginiamo di voler sapere la probabilità di osservare 3 sequenze di risultati consecutivi identici in 6 lanci.
Se non vado errando le sequenze "favorevoli" dovrebbero essere queste:
TTCCTT opure CCTTCC.
Mentre quelle totali dovrebbero essere $2^6$.
La probabilità sarà : $2/2^6=1/2^5$.
Secondo il tuo risultato: $10/2^5$, da questo il mio dubbio.
Si, sono sicuro del risultato riportato e in verità dispongo anche di una sua spiegazione che però non capisco e vi chiedo di chiarirmela:
"Il problema sembra di difficile soluzione, invece basta ragionare in termini di "permanenze" e "cambiamenti" di risultati. Per esempio, per n = 4 gli eventi TTTT, TTTC, TCTT, TCTC presentano rispettivamente 0, 1, 2, 3 cambiamenti e quindi — corrispondentemente — 1, 2, 3, 4 sequenze di risultati consecutivi identici. In generale, dopo il primo risultato (testa o croce, non importa) le k sequenze sono determinate dal verificarsi di $k -1$ "cambiamenti" nell'ambito dei $2^(n-1)$ possibili risultati differenti. Per cui basta applicare anche in questo caso lo stesso ragionamento che ci ha condotto alla (1.14) sostituendo semplicemente i risultati "testa" e "croce" con "cambiamento" e "permanenza":
$Pr{"k sequenze in n lanci"}=Pr{"(k-1) cambiamenti"}=(((n-1),(k-1)))/2^(n-1)$".
"Il problema sembra di difficile soluzione, invece basta ragionare in termini di "permanenze" e "cambiamenti" di risultati. Per esempio, per n = 4 gli eventi TTTT, TTTC, TCTT, TCTC presentano rispettivamente 0, 1, 2, 3 cambiamenti e quindi — corrispondentemente — 1, 2, 3, 4 sequenze di risultati consecutivi identici. In generale, dopo il primo risultato (testa o croce, non importa) le k sequenze sono determinate dal verificarsi di $k -1$ "cambiamenti" nell'ambito dei $2^(n-1)$ possibili risultati differenti. Per cui basta applicare anche in questo caso lo stesso ragionamento che ci ha condotto alla (1.14) sostituendo semplicemente i risultati "testa" e "croce" con "cambiamento" e "permanenza":
$Pr{"k sequenze in n lanci"}=Pr{"(k-1) cambiamenti"}=(((n-1),(k-1)))/2^(n-1)$".
$((n-1),(k-1))$ è appunto il numero di modi di scegliere i $k-1$ elementi "del cambiamento" dal secondo all'ultimo (n-esimo) risultato. $1/2$ è la probabilità che esca testa o croce (quindi non c'è differenza ad imporre uno dei due risultati). al denominatore c'è $2^(n-1)$ e non $2^n$ perché il numero raddoppia considerando i due casi separati: il primo risultato è T; il primo risultato è C.
spero sia chiaro. ciao.
spero sia chiaro. ciao.
Purtroppo il poblema non mi è ancora chiaro. In particolare non capisco che cosa si intenda con i termini cambiamento e permaneza. Ad esempio il testo riportato dice che:
-L'evento TTTT presenta 0 cambiamenti ( e sono d'accordo: infatti ci sono 4 T consecutive)
-L'evento TTTC presenta 1 cambiamenti (anche qui mi trovo: rispetto a TTTT è stata scambiata la penultima lettera T con C)
-L'evento TCTT presenta 2 cambiamenti (è qui che non capisci: rispetto a TTTT è stata scambiata la seconda lettera con C e quindi vi dovrebbe essere solo 1 cambiamento e non 2)
-L'evento TCTC presenta 3 cambiamenti (anche qui non capisco: rispetto a TTTT sono state scambiate due lettere e dunque ci dovrebbero essere solo due cambiamenti e non 3)
Inoltre non capisco come il testo ripotato possa affermare che:
-L'evento TTTT presenta 1 sequenza di risultati consecutivi identici (sono d'accordo: vi è una sequenza di ridultati consecutivi identici con 4 T)
-L'evento TTTC presenta 2 sequenze di risultati consecutivi identici (è qui che non capisco: io osservo solo una sequenza di 3 risultati consecutivi identici fatta di 3 T)
-L'evento TCTT presenta 3 sequenze di risultati consecutivi identici (non capisco: io osservo solo una sequenza di due risultati consecutivi identici fatta di 2 T)
Grazie per le risposte.
-L'evento TTTT presenta 0 cambiamenti ( e sono d'accordo: infatti ci sono 4 T consecutive)
-L'evento TTTC presenta 1 cambiamenti (anche qui mi trovo: rispetto a TTTT è stata scambiata la penultima lettera T con C)
-L'evento TCTT presenta 2 cambiamenti (è qui che non capisci: rispetto a TTTT è stata scambiata la seconda lettera con C e quindi vi dovrebbe essere solo 1 cambiamento e non 2)
-L'evento TCTC presenta 3 cambiamenti (anche qui non capisco: rispetto a TTTT sono state scambiate due lettere e dunque ci dovrebbero essere solo due cambiamenti e non 3)
Inoltre non capisco come il testo ripotato possa affermare che:
-L'evento TTTT presenta 1 sequenza di risultati consecutivi identici (sono d'accordo: vi è una sequenza di ridultati consecutivi identici con 4 T)
-L'evento TTTC presenta 2 sequenze di risultati consecutivi identici (è qui che non capisco: io osservo solo una sequenza di 3 risultati consecutivi identici fatta di 3 T)
-L'evento TCTT presenta 3 sequenze di risultati consecutivi identici (non capisco: io osservo solo una sequenza di due risultati consecutivi identici fatta di 2 T)
Grazie per le risposte.
"Gp741":
Purtroppo il poblema non mi è ancora chiaro. In particolare non capisco che cosa si intenda con i termini cambiamento e permaneza. Ad esempio il testo riportato dice che:
-L'evento TCTT presenta 2 cambiamenti (è qui che non capisci: rispetto a TTTT è stata scambiata la seconda lettera con C e quindi vi dovrebbe essere solo 1 cambiamento e non 2)
-L'evento TCTC presenta 3 cambiamenti (anche qui non capisco: rispetto a TTTT sono state scambiate due lettere e dunque ci dovrebbero essere solo due cambiamenti e non 3)
TCTT ( Non devi confrontarlo con TTTT). Il passaggio TC è il primo cambiamento (dal primo al secondo lancio). Il passaggio CT il secondo (dal secondo al terzo lancio).
TCTC (Qui ce ne sono 3). Ovvero a parte il primo lancio, dal secondo in poi (3) sono tutti diversi.
"Gp741":
-L'evento TTTT presenta 1 sequenza di risultati consecutivi identici (sono d'accordo: vi è una sequenza di ridultati consecutivi identici con 4 T)
-L'evento TTTC presenta 2 sequenze di risultati consecutivi identici (è qui che non capisco: io osservo solo una sequenza di 3 risultati consecutivi identici fatta di 3 T)
-L'evento TCTT presenta 3 sequenze di risultati consecutivi identici (non capisco: io osservo solo una sequenza di due risultati consecutivi identici fatta di 2 T)
Spacchetta la sequenza in coppie di 2.
Esempio per il primo TTTT, puoi scrivere
TT (primo e secondo), TT (secondo e terzo), TT (terzo e quarto). Quindi la sequenza è unica, ovvero TT
Il secondo (TTTC), abbiamo
TT TT TC (due sequenze diverse)
Il terzo (TCTT)
TC CT TT (tre sequenze diverse)
Spero di essere stato chiaro.
se ci sono $k$ cambiamenti vuol dire che ci sono $k+1$ sequenze di "sole teste" o di "sole croci".
un cambiamento al $j$-esimo posto significa che il (j-1)-esimo elemento è T ed il j-esimo è C o viceversa.
permanenza è inteso come contrario di cambiamento.
spero sia chiaro. ciao.
un cambiamento al $j$-esimo posto significa che il (j-1)-esimo elemento è T ed il j-esimo è C o viceversa.
permanenza è inteso come contrario di cambiamento.
spero sia chiaro. ciao.
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