Problema calcolo media e pdf
Sia X una variabile aleatoria che assume valori x>a>0 , la cui pdf è
$ f (x)=lambda e^(-lambda (x-a)) $
Calcolare la media e la pdf della v.a.
$Y=e^X$
Apparentemente sembra un esercizio come tutti gli altri... se non fosse per il fatto che la media di y mi viene infinito
$E (Y)=" infinito "$
È possibile una cosa del genere? Se si cosa significa?
(È la prima volta che mi viene questo risultato che ho ottenuto utilizzando il teorema fondamentale della media)
Grazie mille
$ f (x)=lambda e^(-lambda (x-a)) $
Calcolare la media e la pdf della v.a.
$Y=e^X$
Apparentemente sembra un esercizio come tutti gli altri... se non fosse per il fatto che la media di y mi viene infinito
$E (Y)=" infinito "$
È possibile una cosa del genere? Se si cosa significa?
(È la prima volta che mi viene questo risultato che ho ottenuto utilizzando il teorema fondamentale della media)
Grazie mille
Risposte
"Ciro584":
Apparentemente sembra un esercizio come tutti gli altri... se non fosse per il fatto che la media di y mi viene infinito
$E (Y)=" infinito "$
È possibile una cosa del genere?
La definizione di media è la seguente
$E[e^X]=int_Omega e^x dF_X(x)$
Se l'integrale esiste finito. Esistono anche distribuzioni che non ammettono media (es. Distribuzione di Cauchy)
Nel caso in esame la media esiste finita ma solo per determinati valori del parametro $lambda$ che tra l'altro non hai specificato nella traccia.
La media $E[e^X]$ esiste per $AA lambda>1$ mentre $E[X]$ esiste per $AA lambda >0$
Ciao
tommik grazie mille come al solito
ho utlizzato l integrale che hai messo tu , ma quando arrivo agli ultimi passaggi e devo sostituire i valori (infinito e a ) mi sembra che ottengo infinito
se per te non è una scocciatura potresti per favore spiegarmi l ultimo rigo xhe hai scritto?
ho utlizzato l integrale che hai messo tu , ma quando arrivo agli ultimi passaggi e devo sostituire i valori (infinito e a ) mi sembra che ottengo infinito
se per te non è una scocciatura potresti per favore spiegarmi l ultimo rigo xhe hai scritto?
Non ho fatto i conti e non ho calcolato la media. Per rispondere alla domanda di @Ciro è sufficiente osservare che
$e^xf(x)=lambda e^(lambda a)e^(-x(lambda-1))$
Da qui non è difficile capire che quando andrai ad integrare fino a $+oo$ l'integrale sarà finito sse $lambda >1$
Per quanto riguarda $E[X]$ non mi pare ci siano dubbi trattandosi di una distribuzione nota[nota]basta cercare Shifted Exponential Distribution[/nota].
$e^xf(x)=lambda e^(lambda a)e^(-x(lambda-1))$
Da qui non è difficile capire che quando andrai ad integrare fino a $+oo$ l'integrale sarà finito sse $lambda >1$
Per quanto riguarda $E[X]$ non mi pare ci siano dubbi trattandosi di una distribuzione nota[nota]basta cercare Shifted Exponential Distribution[/nota].
Tommik scusami tanto
Sono ritornato su questo esercizio perché sul quaderno ho scritto semplicemente che la media esiste se Lamda >1
Devo scrivere anche la formula della media?
Cioè se lamba >1 viene
$lambda e^(lambda a)/(-lambda +1){1-(e^a e^(-lambda a))} $
Scusami ma essendo la prima vokta che mi viene una cosa del genere non so come formalizzarla nel modo giusto e rivedendo l esercizio mi e rivenuto qualche dubbio
Sono ritornato su questo esercizio perché sul quaderno ho scritto semplicemente che la media esiste se Lamda >1
Devo scrivere anche la formula della media?
Cioè se lamba >1 viene
$lambda e^(lambda a)/(-lambda +1){1-(e^a e^(-lambda a))} $
Scusami ma essendo la prima vokta che mi viene una cosa del genere non so come formalizzarla nel modo giusto e rivedendo l esercizio mi e rivenuto qualche dubbio
prego....
Per tuo controllo, con $lambda>1$, $a>0$, la media viene
$E[e^X]=(lambdae^a)/(lambda-1)$
saluti
Per tuo controllo, con $lambda>1$, $a>0$, la media viene
$E[e^X]=(lambdae^a)/(lambda-1)$
saluti
Credo di sbagliare qualcosa verso al fine....
$lambda e^(lambda a)/(1-lambda)[e^(x (1-lambda))]$
(la parentesi quadra è calcolata tra gli estremi a e infinito
Quindi sostituendo una volta infinito ( e ottengo 1 ) e una volta a otrengo quello che ho scritto sopra
Sinceramente non penso di aver sbagliato a risolvere l integrale (per questo ho postato il passaggio dove oenso di aver commesso qualche errore ), ma penso di aver commesso un errore quando sostitiusco i valori infinito e a, infatti mi trovo come te tranne che ho il denominatore invertito e poi è come se tu avessi calcolato
solo sostuendo a
$lambda e^(lambda a)/(1-lambda)[e^(x (1-lambda))]$
(la parentesi quadra è calcolata tra gli estremi a e infinito
Quindi sostituendo una volta infinito ( e ottengo 1 ) e una volta a otrengo quello che ho scritto sopra
Sinceramente non penso di aver sbagliato a risolvere l integrale (per questo ho postato il passaggio dove oenso di aver commesso qualche errore ), ma penso di aver commesso un errore quando sostitiusco i valori infinito e a, infatti mi trovo come te tranne che ho il denominatore invertito e poi è come se tu avessi calcolato
solo sostuendo a
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