Problema calcolo combinatorio-probabilita
Premessa: per parlare del calcolo combinatorio userò la scrittura x|y {che sarebbe x!/y!/(x-y)!}, quindi 5|2= 5!/2!/3!=10
(lo so che non è corretto ma non riesco ad utilizzare bene la grafica e i simboli)
Detto questo, volevo fare una formula che permetta brevemente, senza fare molti calcoli e ragionamenti, per calcolare la probabilità di un classico gioco a premi (es superenalotto) dove c'è un totale di numeri T (90), ne vengono estratti E (6) e ne devo indovinare Q (6) giocandone G (6).
Ecco, nel caso in cui Q=G non ho avuto problemi ma quando Q diventa diverso da G ho iniziato ad avere problemi. Praticamente la formula (non sto dicendo che l'ho inventata, semplicemente voglio semplificare il tutto) è questa:
(T-Q)|(E-Q)/T|E
Per esempio prendiamo il gioco del 10 e lotto con tre numeri giocati da indovinare.
T=90
E=20
Q=3
La probabilità risulta: 0.0097 che è circa 1/103.
A questo punto mi sono chiesto: ma se giocassi più di tre numeri, come cambierebbe la probabilità?
Ed ho pensato subito:
(T-Q)|(E-Q)*G|Q/T|E
Perchè ho pensato che giocando G numeri, si formeranno G|3 terzine. Ma poi ho pensato che (sempre allo stesso gioco), giocando 53 numeri (G=73) si dovrebbe avere la certezza di vincere (perchè anche se 70 dei 73 sono tra i non-estratti, comunque gli altri tre saranno estratti.
Ma facendo il calcolo viene una probabilità di circa 603.53 (che è assurda perche maggiore di 1!).
Penso di capire dove sta il mio errore: nel considerare G|Q "terzine", non considero però che molte terzine tra di loro possono avere tra di loro uno o più numeri in comune...(?)
Quindi concludendo, avete un'idea per la formula con Q diverso da G?
Ps: spero che vi piaccia la formula e l'abbiate trovata comoda e veloce (sempre nel caso che non l'avesse già pubblicata qualcun'altro, che non si sa mai!)
...grazie in anticipo.
(lo so che non è corretto ma non riesco ad utilizzare bene la grafica e i simboli)
Detto questo, volevo fare una formula che permetta brevemente, senza fare molti calcoli e ragionamenti, per calcolare la probabilità di un classico gioco a premi (es superenalotto) dove c'è un totale di numeri T (90), ne vengono estratti E (6) e ne devo indovinare Q (6) giocandone G (6).
Ecco, nel caso in cui Q=G non ho avuto problemi ma quando Q diventa diverso da G ho iniziato ad avere problemi. Praticamente la formula (non sto dicendo che l'ho inventata, semplicemente voglio semplificare il tutto) è questa:
(T-Q)|(E-Q)/T|E
Per esempio prendiamo il gioco del 10 e lotto con tre numeri giocati da indovinare.
T=90
E=20
Q=3
La probabilità risulta: 0.0097 che è circa 1/103.
A questo punto mi sono chiesto: ma se giocassi più di tre numeri, come cambierebbe la probabilità?
Ed ho pensato subito:
(T-Q)|(E-Q)*G|Q/T|E
Perchè ho pensato che giocando G numeri, si formeranno G|3 terzine. Ma poi ho pensato che (sempre allo stesso gioco), giocando 53 numeri (G=73) si dovrebbe avere la certezza di vincere (perchè anche se 70 dei 73 sono tra i non-estratti, comunque gli altri tre saranno estratti.
Ma facendo il calcolo viene una probabilità di circa 603.53 (che è assurda perche maggiore di 1!).
Penso di capire dove sta il mio errore: nel considerare G|Q "terzine", non considero però che molte terzine tra di loro possono avere tra di loro uno o più numeri in comune...(?)
Quindi concludendo, avete un'idea per la formula con Q diverso da G?
Ps: spero che vi piaccia la formula e l'abbiate trovata comoda e veloce (sempre nel caso che non l'avesse già pubblicata qualcun'altro, che non si sa mai!)
...grazie in anticipo.
Risposte
Ho fatto fatica a seguire i tuoi ragionamenti.
Però ci sono quasi riuscito.
La formula che tu hai "inventato" è quella che si usa abitualmente, e che mi hanno insegnato a scuola una trentina d'anni fa.
Ad esempio per trovare le possibili terzine con 8 numeri io facevo così:
$(8*7*6)/(3*2*1)$ che è la stessa cosa di $(8*7*6)/(3!)$ che complicandosi la vita diventa $(8!)/[(3!)*(5!)]$
L'ultima è esattamente la stessa cosa che dici tu.
Mi dispiace, non hai scoperto nulla di nuovo.
Però ci sono quasi riuscito.
La formula che tu hai "inventato" è quella che si usa abitualmente, e che mi hanno insegnato a scuola una trentina d'anni fa.
Ad esempio per trovare le possibili terzine con 8 numeri io facevo così:
$(8*7*6)/(3*2*1)$ che è la stessa cosa di $(8*7*6)/(3!)$ che complicandosi la vita diventa $(8!)/[(3!)*(5!)]$
L'ultima è esattamente la stessa cosa che dici tu.
Mi dispiace, non hai scoperto nulla di nuovo.
No. Mi sa che non hai capito il mio discorso. All'inizio ho scritto che per trovare il numero di terzine in una quantita (es 8) si fa (8!)/((5!)*(3!)) Non ho assolutamente detto di averlo scoperto io. All'inizio del post ho detto che da lì in avanti avrei usato la scrittura 8|5 per sottointendere (8!)/((5!)*(3!)). Ma il problema e tutt'altro!!
Ciao.
Chiedo venia. Ho capito dopo cosa volevi dire.
Il calcolo del numero delle terzine che si formano giocando più di 3 numeri è corretto.
Non mi è invece chiaro come calcoli la probabilità di vincita.
Facciamo un esempio più semplice: qual è la probabilità di fare almeno un terno giocando 6 numeri su una singola ruota?
A me (se non ho clamorosamente toppato) viene questa mostruosità (che non sono in grado di calcolare):
$1-[(117.460!)/(117.450!)]/[(117.480!)/(117.470!)]$
Pertanto la tua, giocando 53 numeri al 10 e lotto (20 numeri estratti) dovrebbe essere:
$1-[(94.054!)/(92.914!)]/[(117.480!)/(116.340!)]$
Chiedo venia. Ho capito dopo cosa volevi dire.
Il calcolo del numero delle terzine che si formano giocando più di 3 numeri è corretto.
Non mi è invece chiaro come calcoli la probabilità di vincita.
Facciamo un esempio più semplice: qual è la probabilità di fare almeno un terno giocando 6 numeri su una singola ruota?
A me (se non ho clamorosamente toppato) viene questa mostruosità (che non sono in grado di calcolare):
$1-[(117.460!)/(117.450!)]/[(117.480!)/(117.470!)]$
Pertanto la tua, giocando 53 numeri al 10 e lotto (20 numeri estratti) dovrebbe essere:
$1-[(94.054!)/(92.914!)]/[(117.480!)/(116.340!)]$
Dalla formula: (T-Q)|(E-Q)*G|Q/T|E
La probabilità di fare terno giocando 6 numeri risulta:
Allora
E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=6 (ne gioco 6)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2
Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))*((6!)/(3!)/(3!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,0017$
Invece se giocassi solo 3 numeri, risulterebbe:
(T-Q)|(E-Q)/T|E
E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=3 (ne gioco 3)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2
Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,000085$
In questo caso sembrerebbero accettabili entrambi, ma facendo l'esempio dei 53 numeri giocati al 10elotto mi accorgo che la formula contiene un errore quando G è diverso da Q
La probabilità di fare terno giocando 6 numeri risulta:
Allora
E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=6 (ne gioco 6)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2
Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))*((6!)/(3!)/(3!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,0017$
Invece se giocassi solo 3 numeri, risulterebbe:
(T-Q)|(E-Q)/T|E
E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=3 (ne gioco 3)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2
Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,000085$
In questo caso sembrerebbero accettabili entrambi, ma facendo l'esempio dei 53 numeri giocati al 10elotto mi accorgo che la formula contiene un errore quando G è diverso da Q
Ciao.
C'è un piccolo errore nella tua formula. Errore che commettevo anch'io fino a un paio di giorni fa.
Il risultato di 0,0017 è corretto, ma solo perchè parliamo di terni: 117.480 possibili, 20 giocati, 10 usciti. E la differenza è qualche decimale poco significativo.
Per farti capire meglio, proviamo qualcosa di più semplice: la possibiltà di imbroccare un numero su una ruota.
Giocando un numero, la possibilità di vincita è ovviamente $5/90$ ovvero $5,555555555%$
Ma se aumentiamo i numeri giocati?
Usando il tuo sistema, giocando 19 numeri, si avrebbe una possibilità superiore al 100%. Cosa impossibile, dato che possono benissimo venire estratti 5 degli altri 71 numeri.
Bisogna mettere un correttivo.
Io penso che bisogna trovare la probabilità di "non vincere", e poi per differenza si trova quella di vincere.
P.S. Perchè non scrivi le formule in maniera corretta? Basta mettere il $ prima e dopo.
C'è un piccolo errore nella tua formula. Errore che commettevo anch'io fino a un paio di giorni fa.
Il risultato di 0,0017 è corretto, ma solo perchè parliamo di terni: 117.480 possibili, 20 giocati, 10 usciti. E la differenza è qualche decimale poco significativo.
Per farti capire meglio, proviamo qualcosa di più semplice: la possibiltà di imbroccare un numero su una ruota.
Giocando un numero, la possibilità di vincita è ovviamente $5/90$ ovvero $5,555555555%$
Ma se aumentiamo i numeri giocati?
Usando il tuo sistema, giocando 19 numeri, si avrebbe una possibilità superiore al 100%. Cosa impossibile, dato che possono benissimo venire estratti 5 degli altri 71 numeri.
Bisogna mettere un correttivo.
Io penso che bisogna trovare la probabilità di "non vincere", e poi per differenza si trova quella di vincere.
P.S. Perchè non scrivi le formule in maniera corretta? Basta mettere il $ prima e dopo.
Quindi faccio $1-((1- (((T-Q)!))/(((E-Q)!)*((T-Q-E-Q)!)))*(G!)/((Q!)*((G-Q)!)))$
Giusto?
Mi sa che sono entrato in crisi sul finale (eppure dovrebbe essere semplice...)
Giusto?
Mi sa che sono entrato in crisi sul finale (eppure dovrebbe essere semplice...)
Io direi
$1-{((T-([G!*Q!]/[(G-Q)!]))!]/[(T!)-([G!*Q!]/((G-Q)!))-(E!)/[(E-Q)!*(Q!))]*[T-(E!)/[(E-Q)!*Q!]]/(T!)}$
La formula non è ancora completa. Ci stò lavorando.
$1-{((T-([G!*Q!]/[(G-Q)!]))!]/[(T!)-([G!*Q!]/((G-Q)!))-(E!)/[(E-Q)!*(Q!))]*[T-(E!)/[(E-Q)!*Q!]]/(T!)}$
La formula non è ancora completa. Ci stò lavorando.
$1-[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(G!)/[Q!*(G-Q)!]]!]/[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(G!)/[Q!*(G-Q)!]-(E!)/[Q!*(E-Q)!]]!]*[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(E!)/[Q!*(E-Q)!]]!]/[[(T!)/[(Q!)*(T-Q)!]]!]$
Ecco questo è il mostro finale.
Salvo errori od omissioni è la formula finale.
Poichè il simbolo $Q!$ compare in TUTTI i denominatori, si può tranquillqmente eliminare, così la formula si alleggerisce.
Inoltre nel caso $E = Q$ o $G = Q$ o addirittura $Q = G = E$ a tutte le frazioni il cui denomitare vale $0$, viene attribuito il valore $1$.
Spero di essere stato chiaro e preciso.
Ecco questo è il mostro finale.
Salvo errori od omissioni è la formula finale.
Poichè il simbolo $Q!$ compare in TUTTI i denominatori, si può tranquillqmente eliminare, così la formula si alleggerisce.
Inoltre nel caso $E = Q$ o $G = Q$ o addirittura $Q = G = E$ a tutte le frazioni il cui denomitare vale $0$, viene attribuito il valore $1$.
Spero di essere stato chiaro e preciso.
Scusa ma non l'ho capita la formula! Potresti gentilmente spiegarmela?
Ps: non c'entra molto, ma leggendo la tua frase "ai denominatori che valgono 0, attribuisci valore 1" mi è venuta in mente una cosa: esiste la funzione inversa del fattoriale? Perche in questo esempio sarebbe comoda: chiamiamola $W(x)$. Mettiamo il caso che al denominatore ci sia un $4$ ed uno $0$: in questo caso faremmo $w(4!)$ e $w(0!)$ che darebbero rispettivamente $4$ ed $1$ (mettendo anche una specie di valore assoluto che prende solo i numeri >0)
Giusto per fare un esempio molto simile per rendere chiaro ciò che intendo:
C'è questa regola: se il numero è negativo, diventa positivo.
Prendiamo il $4$ ed il $-3$. Io farei $sqrt(4^2)$ e $sqrt((-3)^2)$ che darebbe 4 e 3. Sempre se si considerano le soluzioni >0.
Ps: non c'entra molto, ma leggendo la tua frase "ai denominatori che valgono 0, attribuisci valore 1" mi è venuta in mente una cosa: esiste la funzione inversa del fattoriale? Perche in questo esempio sarebbe comoda: chiamiamola $W(x)$. Mettiamo il caso che al denominatore ci sia un $4$ ed uno $0$: in questo caso faremmo $w(4!)$ e $w(0!)$ che darebbero rispettivamente $4$ ed $1$ (mettendo anche una specie di valore assoluto che prende solo i numeri >0)
Giusto per fare un esempio molto simile per rendere chiaro ciò che intendo:
C'è questa regola: se il numero è negativo, diventa positivo.
Prendiamo il $4$ ed il $-3$. Io farei $sqrt(4^2)$ e $sqrt((-3)^2)$ che darebbe 4 e 3. Sempre se si considerano le soluzioni >0.
Ciao.
Non ci siamo capiti. Io non ho detto che ai denominatori che hanno valore 0, attribuisco il valore 1.
Io ho detto che alle frazioni il cui denominatore ha valore 0, attribuisco il valore 1.
Cioè per 1 l'intera frazione.
Riguardo alla formula ho usato i simboli che hai detto tu.
Se voglio sapere che probabilità ho di azzeccare un terno, su una ruota prefissata giocando 7 numeri ho:
T=90
G=7
E=5
Q=3
Basta sostituire le lettere con i numeri.
Buon calcolo!!!
Non ci siamo capiti. Io non ho detto che ai denominatori che hanno valore 0, attribuisco il valore 1.
Io ho detto che alle frazioni il cui denominatore ha valore 0, attribuisco il valore 1.
Cioè per 1 l'intera frazione.
Riguardo alla formula ho usato i simboli che hai detto tu.
Se voglio sapere che probabilità ho di azzeccare un terno, su una ruota prefissata giocando 7 numeri ho:
T=90
G=7
E=5
Q=3
Basta sostituire le lettere con i numeri.
Buon calcolo!!!
Ora ho capito la storia dello $0$ che fa diventare $1$
Ciao e grazie.
Ciao e grazie.
Ritorno su questo argomento perchè mi è venuto un dubbio...
La formula non potrebbe essere semplicemente $frac{((G),(Q))*((T-G),(E-Q))}{((T),(E))}$?
La formula non potrebbe essere semplicemente $frac{((G),(Q))*((T-G),(E-Q))}{((T),(E))}$?
Se con $Q$ intendi esattamente $Q$ numeri indovinati (e non almeno $Q$) per me la formula è corretta.
Sì, ovviamente intendo esattamente... Se volessi fare "almeno", dovrei fare una sommatoria con l'indice cha va da Q a G... O c'è un modo più veloce?
Sono tornato dopo tanti mesi su questo topic perchè io sinceramente non ho mai capito il senso della formula scritta da superpippone (che tra l'altro sembrava anche funzionare) e qualche giorno fa, mentre mi ero deciso finalmente a capirci qualcosa, mi è venuto in mente che la formula potesse essere semplicemente proprio quella.
Sono tornato dopo tanti mesi su questo topic perchè io sinceramente non ho mai capito il senso della formula scritta da superpippone (che tra l'altro sembrava anche funzionare) e qualche giorno fa, mentre mi ero deciso finalmente a capirci qualcosa, mi è venuto in mente che la formula potesse essere semplicemente proprio quella.
Non ho approfondito la formula di superpippone ma ad occhio (e leggendo un po' quello che ha scritto) mi viene da pensare che, osservando che sta calcolando una probabilità complementare utilizzando (mi sembra di intuire) una parvenza di principio di inclusione ed esclusione (ma potrei sbagliarmi), stia valutando la probabilità di fare almeno $Q$ punti.
In ogni caso sono sufficienti poche prove con alcuni valori significativi per mostrare che non funziona sempre (quale che sia il significato che si vuole attribuire, esattamente $Q$ o almeno $Q$).
Prendiamo ad esempio la terna $G=9$, $E=10$, $T=11$ e variamo $Q$ (inteso qui come risultato esatto) da $1$ a $9$.
I risultati per questa configurazione sono piuttosto evidenti (volendo si possono anche trovare a mano): per $Q<=7$ la probabilità è nulla, per $Q=8$ viene $p=9/11~=81.8%$, per $Q=9$ viene $p=2/11$. La sommatoria dà correttamente $1$.
La formula di superpippone restituisce il valore corretto solo per $Q=9$, mentre per $Q=8$ dà $p~=94.7%$ (quando invece $p(Q=8)~=81.8%$ e $p(Q>=8)=1$) e per valori di $Q$ minori restituisce valori prossimi all'unità per un totale di circa $8.13$ nello specifico caso.
In ogni caso sono sufficienti poche prove con alcuni valori significativi per mostrare che non funziona sempre (quale che sia il significato che si vuole attribuire, esattamente $Q$ o almeno $Q$).
Prendiamo ad esempio la terna $G=9$, $E=10$, $T=11$ e variamo $Q$ (inteso qui come risultato esatto) da $1$ a $9$.
I risultati per questa configurazione sono piuttosto evidenti (volendo si possono anche trovare a mano): per $Q<=7$ la probabilità è nulla, per $Q=8$ viene $p=9/11~=81.8%$, per $Q=9$ viene $p=2/11$. La sommatoria dà correttamente $1$.
La formula di superpippone restituisce il valore corretto solo per $Q=9$, mentre per $Q=8$ dà $p~=94.7%$ (quando invece $p(Q=8)~=81.8%$ e $p(Q>=8)=1$) e per valori di $Q$ minori restituisce valori prossimi all'unità per un totale di circa $8.13$ nello specifico caso.
scusate ma secondo questa formula applicandola al superenalotto giocando 81 numeri avrei una probabilità dell'1.15% di fare esattamente 3 ?
posto:
T G E Q
90 81 6 3
mi sembra strano voi che dite....
posto:
T G E Q
90 81 6 3
mi sembra strano voi che dite....
"kobeilprofeta":
Ritorno su questo argomento perchè mi è venuto un dubbio...
La formula non potrebbe essere semplicemente $frac{((G),(Q))*((T-G),(E-Q))}{((T),(E))}$?
Come sai, i numeri che sono estratti al superenalotto sono 6 sui 90 possibili.
Per calcolare se fra le combinazioni giocate hai uno o più punteggi vincenti (6, 5, ecc...), devi ipotizzare quanti sono fra i 6 estratti i numeri presenti nel sistema e fra le combinazioni che hai giocato.
Supponiamo (per assurdo) che il tuo sistema sia l'integrale in sestine di 81 numeri, che è formato da ben C(81,6) = 324.540.216 combinazioni.
A questo punto si possono verificare questi casi:
1) I sei numeri estratti sono tutti e sei contenuti tra i tuoi 81.
Realizzerai un sei + 450 cinque + 41.625 quattro + 1.350.500 tre.
2) Tra gli 81 numeri ci sono 5 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai 6 cinque + 14.250 quattro + 703.000 tre.
3) Tra gli 81 numeri ci sono 4 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai 2.926 quattro + 292.600 tre.
4) Tra gli 81 numeri ci sono 3 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai solo 76.076 tre.
Se sei particolarmente sfortunato, tra gli 81 numeri che giochi integralmente in sestine potrebbero esserci solo 2 o 1 o addirittura nessuno dei 6 estratti (che sarebbero quindi tra i 9 numeri non giocati), e allora non vinceresti neppure un misero tre.
Ciò premesso, per quanto riguarda la soluzione del problema originale di Kobeilprofeta, potrebbe essere utile leggere questo mio messaggio:
La probabilità richiesta è data dall'inverso di quello che in sistemistica ludica viene chiamato "riduttore minimo teorico".
Ad esempio, prendendo in considerazione la tua domanda, giocando 81 numeri, per avere la garanzia MINIMA di vincere 3 punti, il riduttore minimo teorico è costituito da
C(90,81)/705.777.776.100* = 1,000673 combinazioni e quindi la probabilità di realizzare almeno 3 punti è il 99,9328%
(invece per vincere ESATTAMENTE solo 3 punti è = 1,151094%, come avevi detto tu).
* Questo valore indica il numero totale di combinazioni vincenti di 6 + 5 + 4 + 3 punti, tra cui le vincite del 3 sono solo 8.129.630.880.
Questo ti fa capire perché la probabilità per 3 punti è così bassa: perché con 81 numeri esistono probabilità molto maggiori di realizzare punteggi più elevati.
Nino
Per calcolare se fra le combinazioni giocate hai uno o più punteggi vincenti (6, 5, ecc...), devi ipotizzare quanti sono fra i 6 estratti i numeri presenti nel sistema e fra le combinazioni che hai giocato.
Supponiamo (per assurdo) che il tuo sistema sia l'integrale in sestine di 81 numeri, che è formato da ben C(81,6) = 324.540.216 combinazioni.
A questo punto si possono verificare questi casi:
1) I sei numeri estratti sono tutti e sei contenuti tra i tuoi 81.
Realizzerai un sei + 450 cinque + 41.625 quattro + 1.350.500 tre.
2) Tra gli 81 numeri ci sono 5 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai 6 cinque + 14.250 quattro + 703.000 tre.
3) Tra gli 81 numeri ci sono 4 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai 2.926 quattro + 292.600 tre.
4) Tra gli 81 numeri ci sono 3 dei 6 numeri estratti.
Realizzerai solo 76.076 tre.
Se sei particolarmente sfortunato, tra gli 81 numeri che giochi integralmente in sestine potrebbero esserci solo 2 o 1 o addirittura nessuno dei 6 estratti (che sarebbero quindi tra i 9 numeri non giocati), e allora non vinceresti neppure un misero tre.
Ciò premesso, per quanto riguarda la soluzione del problema originale di Kobeilprofeta, potrebbe essere utile leggere questo mio messaggio:
"nino_":
Quante sestine nel Superenalotto occorre giocare per essere certi di fare almeno un 5? O un 4?
Prima di rispondere, limitiamoci per ora a calcolare il numero minimo "teorico" di combinazioni numeriche (es. sestine per il Superenalotto), che sono necessarie e al di sotto del quale non è matematicamente possibile costruire un agglomerato colonnare (sistema) che possa garantire la vincita richiesta in qualsiasi circostanza e per qualsiasi serie estratta.
In seguto, se del caso, si vedrà che le realizzazioni pratiche dei migliori studiosi del Covering Design:
https://www.ccrwest.org/cover.html
http://www.weefs-lottosysteme.de/systeme,en.htm
sono spesso ben lontane da questo "minimo" e che il limite delle combinazioni richieste è quasi sempre molto superiore.
Un piccolo cenno, per chi non lo sapesse, di cosa sono i sistemi usati nei concorsi ludici.
Per sistema si intende un aggregato particolare di combinazioni (in coppie, terzine, ..., decìne, ecc...) che nel loro insieme hanno determinate caratteristiche e proprietà di rappresentazione.
I sistemi vengono definiti "integrali" (se sono composti da tutte le possibili combinazioni e quindi il loro utilizzo condurrà inevitabilmente a vincita piena certa) o "ridotti" *(se sono composti da un numero minore di combinazioni e quindi, se si giocano, costano meno; c'è però l'handicap che potrebbero non dare la vincita piena, che si identifica con il punteggio massimo N, ma, se non vi è "incolonnamento della combinazione vincente", danno solo la garanzia di una vincita con punteggio inferiore, di 1 , 2, ... punti, che si chiama N-1, N-2, ecc...)
Ci sono poi i "sistemi condizionati", ma per adesso lasciamo perdere...
I sistemi numerici (quelli simbolici, ad esempio per il totocalcio, li esamineremo eventualmente in un'altra occasione) si rappresentano convenzionalmente in questo modo:
[size=150]v, k, t, m = b[/size]
associando ad ogni lettera un numero, con il seguente significato:
v = numero totale degli elementi che costituiscono il sistema (es. 90 numeri)
k = numero degli elementi che sono presenti in ogni blocco-combinazione (es. sestine)
t = punteggio minimo garantito dal sistema, ossia numero minimo di estratti presenti in una stessa combinazione del sistema (es. 3 per il superenalotto)
m = numeri che, tra quelli che vengono sorteggiati ad ogni estrazione, devono essere contenuti nel sistema (es. 6 per il superenalotto, 20 per il 10elotto, ecc...)
b = dimensione del sistema, cioè numero dei blocchi (combinazioni, dette normalmente colonne) di cui è composto
Ad esempio, 90,6,3,6 = 1124 e 20,10,7,10 = 30 sono due sistemi ridotti, attuali "primati", perché con 90 numeri la soluzione migliore a garanzia di 3 punti è di 1124 sestine e con 20 numeri il record a garanzia di 7 punti (utilizzabile ad esempio per winforlife) è di 30 decine.
Nei due link citati all'inizio sono disponibili le migliori soluzioni attuali di un gran numero di sistemi, per eventuale studio od una utilizzazione personale di gioco.
Ma qual è il numero minimo di combinazioni necessarie per un ipotetico riduttore teorico del sistema 90,6,3,6? Sono 318 (esattamente 317,908)
E del 20,10,7,10? Sono 11,18.
E di qualunque altro sistema?
Per trovare questo numero è necessario:
1) Calcolare quante sono le combinazioni che costituiscono il sistema integrale.
$I = C(v,k) = (v!)/(k!*(v-k)!) $
2) Calcolare il numero delle combinazioni che sono rappresentate (cioè coperte e che darebbero la vincita se fossero estratte) da 1 (ogni) combinazione giocata che fa parte del sistema:
- combinazioni dell'integrale $C(v,m)$ che danno la vincita piena N -----> t=m
- combinazioni che danno la vincita ridotta N-1 -----> t=m-1
- combinazioni che danno la vincita biridotta N-2 -----> t=m-2
-ecc... fino ad avere la vincita minima t richiesta dal sistema, cioè N-x -----> m-x=t
3) Dividere I per la somma delle colonne vincenti di cui al punto 2 (N+N-1+N-2, ecc...)
Il risultato così ottenuto rappresenta il numero delle combinazioni (ciascuna con k numeri) del riduttore teorico minimo relativo al sistema di v numeri a garanzia t punti con la presenza di m estratti.
Facciamo due esempi.
A) 30,8,6,8 ---- sistema di 30 numeri in ottine a garanzia del 6 con 8 presenze fra gli estratti
$ I = C(30,8) = 5852925 $
$ N $-----> $(t=m=8) = ((v-m)!)/((k-m)!*(v-k)!) = (22!)/(0!*22!) = 1 $
$ N-1$ ----->$(t=m-1=7) = (m!)/((m-1)!*1!) * ((v-m)!)/((k-m+1)!*(v-k-1)!) = (8!)/(7!*1!) * (22!)/(1!*21!) = 176$
$ N-2 $----->$ (t=m-2=6) = (m!)/((m-2)!*2!) * ((v-m)!)/((k-m+2)!*(v-k-2)!) = (8!)/(6!*2!) * (22!)/(2!*20!) = 6468$
R_teorico_minimo $ = 5852925/(1+176+6468) = 880,801 $
B) 90,6,2,5 ---- sistema di 90 numeri in sestine a garanzia ambo con 5 estratti
$ I = C(90,6) = 622614630 $
$ N $----->$ (t=m=5) = ((v-m)!)/((k-m)!*(v-k)!) = (85!)/(1!*84!) = 85$
$ N-1 $----->$(t=m-1=4) = (m!)/((m-1)!*1!) * ((v-m)!)/((k-m+1)!*(v-k-1)!) = (5!)/(4!*1!) * (85!)/(2!*83!) = 17850$
$ N-2$ -----> $(t=m-2=3) = (m!)/((m-2)!*2!) * ((v-m)!)/((k-m+2)!*(v-k-2)!) = (5!)/(3!*2!) * (85!)/(3!*82!) = 987700$
$ N-3 $-----> $(t=m-3=2) = (m!)/((m-3)!*3!) * ((v-m)!)/((k-m+3)!*(v-k-3)!) = (5!)/(2!*3!) * (85!)/(4!*81!) = 20247850$
R_teorico_minimo $ = 622614630/(85+17850+987700+20247850) = 29,295 $
La probabilità richiesta è data dall'inverso di quello che in sistemistica ludica viene chiamato "riduttore minimo teorico".
Ad esempio, prendendo in considerazione la tua domanda, giocando 81 numeri, per avere la garanzia MINIMA di vincere 3 punti, il riduttore minimo teorico è costituito da
C(90,81)/705.777.776.100* = 1,000673 combinazioni e quindi la probabilità di realizzare almeno 3 punti è il 99,9328%
(invece per vincere ESATTAMENTE solo 3 punti è = 1,151094%, come avevi detto tu).
* Questo valore indica il numero totale di combinazioni vincenti di 6 + 5 + 4 + 3 punti, tra cui le vincite del 3 sono solo 8.129.630.880.
Questo ti fa capire perché la probabilità per 3 punti è così bassa: perché con 81 numeri esistono probabilità molto maggiori di realizzare punteggi più elevati.
Nino
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