Problema calcolo cdf
Si calcoli la mediana della v.a. trasformata
$Y=(X-1)^2$
conoscendo la pdf di
$f(x) =1/16$
essendo 0<=x<=16
quesro e un eserxzio svolto preso dal libro che però non ho capito
il libro parte dixendo che
imponeche sia pari a 0,5 il valore della cdf di Y e sxrive
$F(y)=Pr(1-(y)^(1/2)<=X<=1+(y)^(1/2))$
gia al quesro rigo mi sono blocxato perché non mi rrovo con il calcolo della cdf
infatti seguendo la logica del libro negli eserciI preced eti(cioè trovare intervalli di X incorrisponenza dei quali si verifica l evento (Y<=y) contemporaneamente al fattoche la f ia strett crescente o descresxente )
io disegnado la f(x) sul quaderno non riesco a capire se la f(x) è biunivoca o meno nell intervallo considerato (a cui dovrebbe corrispondere 1<=y<=225) perché secondo me la f(x) non è biunivoca tra 0e 2 mentre lo è tra 2 e 16
cioè con il grafico davanti non riesco a capire come frovare gli intervallo di x (mentre negli altri esercizi più o meno ci sono riuscito perché il libro lo spiegava mentre adesso da direttamente i numer)
grazie mille a chi mi aiuterà
nb : sro cercando di ragionare in questo modo quindi preferirei ragionare in termini di intervalli e grafici
$Y=(X-1)^2$
conoscendo la pdf di
$f(x) =1/16$
essendo 0<=x<=16
quesro e un eserxzio svolto preso dal libro che però non ho capito
il libro parte dixendo che
imponeche sia pari a 0,5 il valore della cdf di Y e sxrive
$F(y)=Pr(1-(y)^(1/2)<=X<=1+(y)^(1/2))$
gia al quesro rigo mi sono blocxato perché non mi rrovo con il calcolo della cdf
infatti seguendo la logica del libro negli eserciI preced eti(cioè trovare intervalli di X incorrisponenza dei quali si verifica l evento (Y<=y) contemporaneamente al fattoche la f ia strett crescente o descresxente )
io disegnado la f(x) sul quaderno non riesco a capire se la f(x) è biunivoca o meno nell intervallo considerato (a cui dovrebbe corrispondere 1<=y<=225) perché secondo me la f(x) non è biunivoca tra 0e 2 mentre lo è tra 2 e 16
cioè con il grafico davanti non riesco a capire come frovare gli intervallo di x (mentre negli altri esercizi più o meno ci sono riuscito perché il libro lo spiegava mentre adesso da direttamente i numer)
grazie mille a chi mi aiuterà
nb : sro cercando di ragionare in questo modo quindi preferirei ragionare in termini di intervalli e grafici
Risposte
La mediana di X è 8 ma la X è uniforme ed 8 cade nel tratto dove la trasformazione è monotona.
Di conseguenza la mediana di Y è semplicemente $y=(8-1)^2=49$
Volendo ragionare sul grafico per calcolare $F_Y$, trovi facilmente che in quel tratto hai
$F_Y(y)=(1+sqrt(y))/16$
E quindi ponendo $F_Y(y)=1/2$ trovi $y=49$
Ma non serve passare per la CDF di Y
Di conseguenza la mediana di Y è semplicemente $y=(8-1)^2=49$
Volendo ragionare sul grafico per calcolare $F_Y$, trovi facilmente che in quel tratto hai
$F_Y(y)=(1+sqrt(y))/16$
E quindi ponendo $F_Y(y)=1/2$ trovi $y=49$
Ma non serve passare per la CDF di Y
la mediana di y=2
questo è il risultato che sta sul libro
però ti trovi con la mediana di x
questo è il risultato che sta sul libro
però ti trovi con la mediana di x
non mi pare proprio...
$f(x)=1/16$ per $0
Quindi $F_X(x)=x/16$
$F_Y(y)=P{Y
questo però solo per $0
Per il tratto $1
abbiamo che $F_Y(y)=(1+sqrt(y))/16$
evidentemente la mediana sta nel secondo intervallo, essendo $F_Y(1)=1/8<1/2$
quindi per trovare la mediana di Y basta fare
$F_Y(me)=1/2 rarr (1+sqrt(y))/16=1/2 rarr y=49$
mi spiace per te ma il libro sbaglia
saluti
$f(x)=1/16$ per $0
Quindi $F_X(x)=x/16$
$F_Y(y)=P{Y
questo però solo per $0
Per il tratto $1
abbiamo che $F_Y(y)=(1+sqrt(y))/16$
evidentemente la mediana sta nel secondo intervallo, essendo $F_Y(1)=1/8<1/2$
quindi per trovare la mediana di Y basta fare
$F_Y(me)=1/2 rarr (1+sqrt(y))/16=1/2 rarr y=49$
mi spiace per te ma il libro sbaglia
saluti
grazzie
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