Probabilità urna con Bayes
ciao a tutti! ho recentemente iniziato a studiare statistica da solo e già i dubbi si fanno sentire. mi servirebbe un chiarimento sul ragionamento che ho fatto in questo esercizio:
nelle tre urne ci sono un totale di 17 palline, di conseguenza la probabilità di estrarre una pallina da una delle tre urne vale:
$P(A)=5/17$, $P(B)=5/17$ e $P(C)=7/17$. chiamando ora $E$ l'elento "estrazione di una pallina bianca" ho che
$P(E|A)=(P(E nn A))/(P(A))=34/25$
$P(E|B)=(P(E nn B))/(P(B))=68/25$
$P(E|C)=(P(E nn C))/(P(C))=51/49$
applicando ora Bayes ottengo che $P(C|E)=(P(E|C)P(C))/(P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)+P(C)P(E|C))=5/19$
il risultato coincide con quello delle dispense dalle quali sto studiando ma non so se sia un caso oppure i ragionamenti miei e delle dispense sono equivalenti, cosa della quale dubito anche perchè sono abbastanza diversi.
qualcuno saprebbe dirmi se quello che ho detto ha un qualche senso?
L’urna A contiene 2 palline bianche e 3 nere; l’urna B ne contiene 4 bianche e 1 nera; l’urna C ne contiene 3 bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un’urna, e si estrae una pallina bianca. Calcolare la probabilità che essa provenga dall’urna C.
nelle tre urne ci sono un totale di 17 palline, di conseguenza la probabilità di estrarre una pallina da una delle tre urne vale:
$P(A)=5/17$, $P(B)=5/17$ e $P(C)=7/17$. chiamando ora $E$ l'elento "estrazione di una pallina bianca" ho che
$P(E|A)=(P(E nn A))/(P(A))=34/25$
$P(E|B)=(P(E nn B))/(P(B))=68/25$
$P(E|C)=(P(E nn C))/(P(C))=51/49$
applicando ora Bayes ottengo che $P(C|E)=(P(E|C)P(C))/(P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)+P(C)P(E|C))=5/19$
il risultato coincide con quello delle dispense dalle quali sto studiando ma non so se sia un caso oppure i ragionamenti miei e delle dispense sono equivalenti, cosa della quale dubito anche perchè sono abbastanza diversi.
qualcuno saprebbe dirmi se quello che ho detto ha un qualche senso?
Risposte
Hai semplicemente applicato la formula di bayes, perchè dovrebbe essere sbagliato?
perchè non sono sicuro che le probabilità che ho calcolato siano corrette poichè la risoluzione delle dispense ne usa delle altre. per esempio la dispensa pone $P(E|A)=2/5$ e $P(A)=1/3$
Effettivamente avevo letto di fretta. Credo che le tue $P(A), P(B),P(C) $ siano sbagliate perchè immagini di svuotare tutte le palle in un unica urna e poi di pescare. A questo punto non so se sia il caso che ti faccia venire un risultato corretto
in effetti si, è come se avessi un'unica grande urna dai miei conti. ma impostando così perderebbe il senso di chiedere la probabilità che venga dall'urna C. quindi credo che ormai sia pacifico che sia uscito il risultato per pura fortuna.
aspetto magari la conferma definitiva, intanto grazie per l'aiuto!
aspetto magari la conferma definitiva, intanto grazie per l'aiuto!
"cooper":
perchè non sono sicuro che le probabilità che ho calcolato siano corrette poichè la risoluzione delle dispense ne usa delle altre. per esempio la dispensa pone $P(E|A)=2/5$ e $P(A)=1/3$
la dispensa ha ragione da vendere...
$P(E|A)$ significa pescare una bianca DATO che pesco dall'urna A, dove ci sono 2 bianche su 5 palle, ergo
$P(E|A)=2/5$
$P(A)$ ovviamente è $1/3$ dato che la scelta tra una delle 3 urne è equiprobabile
e quindi
$P(C|E)=(1/3*3/7)/(1/3*2/5+1/3*4/5+1/3*3/7)=5/19$
insomma CVD......... 
grazie dell'aiuto.
grazie dell'aiuto.
sisi è chiaro! il fatto che io debba pescare in una certa urna mi impone che i casi favorevoli siano le sole palline bianche che sono contenute in quella certa urna.
per la probabilità dell'urna invece è logico che sia $1/3$ a questo punto perchè non c'è nessuna particolare ragione che io abbia più probabilità di pescare dall'urna A,B oppure C. qui sono stato fregato perchè avevo considerato le palline come un tutt'uno e assunto che le probabilità delle urne fossero date dal numero di palline che contenevano sul totale (che a ben pensarci non ha molto senso).
per la probabilità dell'urna invece è logico che sia $1/3$ a questo punto perchè non c'è nessuna particolare ragione che io abbia più probabilità di pescare dall'urna A,B oppure C. qui sono stato fregato perchè avevo considerato le palline come un tutt'uno e assunto che le probabilità delle urne fossero date dal numero di palline che contenevano sul totale (che a ben pensarci non ha molto senso).
però ho un dubbio. perchè la probabilità $P(E|A)=2/5$ non è calcolata con la definizione di probabilità condizionata?
certo che lo è....
$P(W h i t e |A)=(P(W h i t e nn A))/(P(A))=(2/5*1/3)/(1/3)=2/5$
e poi la definizione di probabilità condizionata è proprio questa, al di là della formuletta:
la probabilità di pescare una bianca $P(W h i t e )$ cambia a seconda dell'evento che condiziona:
$P(W h i t e |A)=2/5$
$P(W h i t e |B)=4/5$
$P(W h i t e |C)=3/7$
$P(W h i t e |A)=(P(W h i t e nn A))/(P(A))=(2/5*1/3)/(1/3)=2/5$
e poi la definizione di probabilità condizionata è proprio questa, al di là della formuletta:
la probabilità di pescare una bianca $P(W h i t e )$ cambia a seconda dell'evento che condiziona:
$P(W h i t e |A)=2/5$
$P(W h i t e |B)=4/5$
$P(W h i t e |C)=3/7$
ahhhh certo! sbagliavo a calcolare anche l'intersezione tra l'altro. bene mi sembra di aver fugato diversi dubbi adesso, grazie
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